Ajutor !! De ceva timp incerc sa rezolv un exercitiu, insa nu reusesc sa il duc pana la capat.Cerinta suna asa:
Sa se rezolve in N*xN* ecuatia 1+2+3+..+n+n!=2*6 la m.
Va rog ajutati-ma .Multumesc aniticipat

Problema este una de culoarea celor care presupun inteligenta.
Iar interesul pentru astfel de probleme de asemenea, lucru pe care il foarte respect.

Un mic corolar de venire in intampinare in astfel de cazuri este tiparitul in latex... Imi ia anume mie munca de tiparit in latex...

In astfel de cazuri rog a se posta in orice caz:
- care este sursa / autorul?
- care este miza? (tema,olimpiada,problema gasita intr-un bilet de cumparaturi pe strada, nota intr-un manual de geografie...)
- care au fost incercaaaaarile?

Reformulez ca sa termin imediat.

[Citat] Sa se determina numerele naturale nenule m,n cu proprietatea ca:

O sa ma leg de

Ne uitam mai intai la cum stau lucrurile cu valorile lui n intre 1,2,3,4.

(22:09) gp > for( n=1,4, print( n*(n+1) + 2*n! ) )
4
10
24
68

Pe partea dreapta dam sub 68 doar de

4x6 = 24

deoarece urmatoarea putere a lui 6 e prea mare. (Si m=0 e exclus.)
Bun. Numai cu 24 avem valori in albastru SI in verde...

Ne uitam apoi la cum stau lucrurile cu valorile lui n de la 5 incolo.
Rezulta ca numerele
n(n+1) si 4 x (6 la o putere)
dau acelasi rest la impartirea cu 5.
6 da restul 1 la impartirea cu 5. Deci orice putere a lui 6 de asemenea.

Cautam deci n-uri cu proprietatea ca n(n+1) da restul 4 la impartirea cu 5.
Avem vreo sansa? Ajunge sa vedem daca avem vreo sansa cu 0,1,2,3,4 .

0 x 1 este 0 mod 5 . Ghinion.
1 x 2 este 2 mod 5 . Ghinion.
2 x 3 este 1 mod 5 . Ghinion.
3 x 4 este 2 mod 5 . Ghinion.
4 x 0 este 0 mod 5 . Ghinion.

Nici o sansa.

Singura solutie este 1+2+3 + 3! = 12 = 2.6 .

"Ne uitam apoi la cum stau lucrurile cu valorile lui n de la 5 incolo.
Rezulta ca numerele
n(n+1) si 4 x (6 la o putere)
dau acelasi rest la impartirea cu 5.
6 da restul 1 la impartirea cu 5. Deci orice putere a lui 6 de asemenea."

Nu am inteles. De exemplu pt n=5 5*6/5 nu da acelasi rest cu 4*(6 la o putere)/5

Am reusit in final sa rezolv exercitiul, dar in alt mod.Imi puteti spune daca este corect ?

Sa se rezolve in N*xN* ecuatia 1+2+3+..+n+n!=2*6^m

1+2+3+..+n+n!=2*6^m rezulta ca n(n+1)/2+n!=2*6^m
Stim ca ultima cifra u(2*6^m)=2 oricare ar fi mEN*
u[n(n+1)]!=4 oricare ar fi nEN* rezulta ca u[n(n+1)/2]!=2

Observam ca pentru n>=5 u(n!)=0 rezulta ca u[n(n+1)/2]=2 (ceea ce este fals)
Urmeaza sa luam valori pentru n de la 1 la 4

Pentru n=1 u[n(n+1)/2]+u(n!)=u(2*6^m)
u(1 + 1) =2 (adevarat)
Dar n(n+1)/2+n!=2*6^m rezulta ca 1+1=2*6^m de unde rezulta ca m=0 (fals, deoarece mEN*)

Pentru n=2 u[n(n+1)/2]+u(n!)=u(2*6^m)
u(3 + 6) = 2 (fals)

Pentru n=3 u[n(n+1)/2]+u(n!)=u(2*6^m)
u(6 + 6) = 2 (adevarat)

Dar n(n+1)/2+n!=2*6^m rezulta ca 6+6=2*6^m de unde rezulta ca m=1 (indeplineste conditia)

Iar pentru n=4 u[n(n+1)/2]+u(n!)=u(2*6^m)
u(10 + 24) = 2 (fals)

Rezulta ca singura solutie este 1+2+3+3!=2*6^1 adica n=3 si m=1

[Citat] "Ne uitam apoi la cum stau lucrurile cu valorile lui n de la 5 incolo. Rezulta ca numerele n(n+1) si 4 x (6 la o putere) dau acelasi rest la impartirea cu 5. 6 da restul 1 la impartirea cu 5. Deci orice putere a lui 6 de asemenea." Nu am inteles. De exemplu pt n=5 5*6/5 nu da acelasi rest cu 4*(6 la o putere)/5

Se pare ca nu e clar de unde rezulta cele de mai sus...
Daca ecuatia este satisfacuta,

n(n+1) + 2 n! = 4 * 6^m

atunci acel n! se divide cu 5 (chiar cu 10 cum arata solutia alternativa de mai sus, da cu ultima cifra se poate jongla in schimb).

Deci lucrurile care raman dau acelasi rest *daca ecuatia este satisfacuta* .
Mai departe arat ca nu poate fi satisfacuta.
L-am ochit pe 5 pentru a calcula cat se poate de putine resturi "modulo ceva".

Notez si eu cu u( x ) ultima cifra a numarului natural x.
Ea este exact restul impartirii lui x la 10.
Deci ne aflam de asemenea in cadrul testarii ecuatiei modulo "ceva".
Eu l-am luat pe 5 mai sus. Si cu 10 merge, dar cred ca e mai mult de verificat...

[Citat] ... Observam ca pentru n>=5 are loc u(n!)=0 rezulta ca pentru o solutie (m,n) a ecuatiei... u( n(n+1)/2 ) = 2 (ceea ce este fals)....

De ce este fals?!
Acesta este singurul punct esential in drumul de a reduce cazurile la un numar finit. (Au am folosit testul modulo 5 mai sus...)

E clar ce inseamna a considera un numar natural "modulo 5" si modul in care operatiile + , . , - se transforma algebric dupa trecerea "modulo 5" ?
(Este primul exemplu important de morfism algebric.)

Sau modulo 10...
De exemplu, ce se poate spune despre
u( n(n+1) ) comparat cu produsul u(n) u(n+1) ?

(Nu vreau sa scriu u( n(n+1) ) = u( u(n) u(n+1) )... vreau sa se inteleaga cum stau lucrurile din punct de vedere algebric...)