Mie mi-a dat limita 5;dar nu-mi place de mine cum am rezolvat;

[Citat] si am inlocuiit in relatia de recurenta

?i chiar d? 5?

[Citat] [Citat] si am inlocuiit in relatia de recurenta ?i chiar d? 5?

De fapt da

,am gresit la calcule;nici nu prea am fost atenta;ma streseaza mai mult ca nu stiu cumm sa scriu exact;ca f e o contractie,deci admite un punct fix,care e chiar limita sirului?Sau mai trebuie sa-i fac si tabelul de variatie a lui f?

De fapt limita e

. Se poate arata ca daca primul termen e mai mic decat

, sirul este crescator si marginit. Daca nu, se arata ca exista un termen al sirului care e mai mic decat limita, si de acolo inainte, la fel, sirul devine crescator si marginit. Detaliile tehnice nu mi se par foarte simple, asa incat ma gandesc la o alta abordare.

[Citat] ...

(Sirul nu poate sa fie doar cu numere reale pozitive ca in enuntul de mai sus.)

Incercam sa urmam ideea de mai sus.
In primul rand f(L)=L, deci daca a=L avem un sir constant.

Studiem semnul lui f(x) - x ...

Obtinem ceva pozitiv daca (x<L) si ceva negativ daca (x>L).

Ce se poate spune despre semnul lui f(x)-L daca stim semnul lui x-L ?
(Ne ajuta sa stim daca putem trece fara probleme "de pe o parte pe cealalta"...)
Avem:

In particular, daca x<L, atunci |x| > |L| , deci termenul in xx biruie cei doi termeni xL si LL in paranteza (P) de mai sus.
Sau vedem ca ambii factori (xx-L) si (2x-L) sunt negativi.

Deci daca x<L atunci si f(x) < L.

Daca x>L, stim ce se intampla, dar nu ne intereseaza...


Vedem deci ca
- daca x < L, atunci x < f(x) < f(L) = L si
- daca x > L, x nenul, atunci mereu f(x) < x si avem doua sanse cu plasarea lui f(x) de o parte si de alta a lui L...

Daca a<L, atunci sirul e crescator si marginit
a < f(a) < f(f(a)) < .... < L
deci converge, deci exista limita lui x*, deci f(x^*) = x*, dar exista un unic punct fix real, L. Deci limita este L.

Exemplu cu calculatorul:

(21:26) gp > g(x) = (2*x-5/x^2)/3
(21:26) gp > L = -5^(1./3)
%24 = -1.7099759466766969893531088725438601098680551105431
(21:26) gp >
(21:26) gp > u = -10.
%25 = -10.000000000000000000000000000000000000000000000000
(21:26) gp > for( n=0,13, print( "x[", n , "] ~ ", u ); u=g(u) )
x[0] ~ -10.000000000000000000000000000000000000000000000000
x[1] ~ -6.6833333333333333333333333333333333333333333333333
x[2] ~ -4.4928687563441078655536277068481470195389884944054
x[3] ~ -3.0778118451014782087616739470937283693280662167726
x[4] ~ -2.2278145749639211873296364908862515142832532310836
x[5] ~ -1.8210174302803345721570173942957802748799757618938
x[6] ~ -1.7166093748784646682560365398441056020920534129972
x[7] ~ -1.7100015469626196681213209393335753676346729563699
x[8] ~ -1.7099759470599547530480633352902596434303267112521
x[9] ~ -1.7099759466766969894390086266743394321040803764085
x[10] ~ -1.7099759466766969893531088725438601098723702401061
x[11] ~ -1.7099759466766969893531088725438601098680551105431
x[12] ~ -1.7099759466766969893531088725438601098680551105431
x[13] ~ -1.7099759466766969893531088725438601098680551105431

Asta da convergenta. (De la o vreme.)

Deci daca a>L, atunci sirul poate sa dea de zero,
de exemplu daca plecam cu
a = 0 sau
a = radicalul de orinul 3 din (5/2) sau ...

Sa zicem insa ca nu avem astfel de neplaceri...
Dam de un sir
descrescator si marginit o vreme
a > f(a) > f(f(a)) > ???
iar daca el ar ramane descrescator, ar converge, tot la unicul punct fix al lui f, deci tot la L, dar am vazut mai sus ca intr-o mica vecinatate a lui L se schimba semnul...

Deci la un punct dat vom trece "de partea cealalta" a lui L si suntem in cazul de mai sus.

Mai "simplu" nu se poate, pentru ca problema are o anumita complexitate cu care vine.

Eventual putem observa ca functia este o contractie pe o vecinatate a punctului fix L, deorece f'(x) are o forma simpla

Deci

f'(L) = 0

si intr-o anumita vecinatate compacta a lui L vom avea |f'| < 0,99 sa zicem.
De aici putem merge cu teorema lui Banach de punct fix. Dar intai trebuie sa aratam ca intram intr-o astfel de vecinatate...