|
|
|
|
iBac = materialul ULTRACOMPLET de pregătire pentru bac la mate. Dacă vrei poţi.
|
|
 |
|
 |
[1]
| Autor |
Mesaj |
|
|
1. Sa se determine valorile parametrilor reali a si b pentru care sistemul:
(eroare: eq.0/34362)$\left\{ \begin{ matrix } x+2y-2z=-6 \\ 2x+y+bz=4 \\ ax-y+z=8 \end{ matrix } \right $
este incompatibil
2.Sa se determine valorile parametrului real m astfel incat ecuatia (eroare: eq.1/34362)$2m{ x }^{ 3 }-5x-12m=0$ sa aiba cel putin o radacina reala in intervalul (1,2).
|
|
|
Mai sus nu s-a compilat, deoarece \right asteapta ceva...
\right.
se foloseste pentru a nu pune nici o paranteza dreapta. (Conventie latex) [Citat]
este incompatibil.
|
Exista doua sanse. Putem sa eliminam y folosind prima ecuatie,
dam astfel de un sistem cu doua ecuatii in x,z,
si incercam sa vedem
- care este determinantul sistemului
- cand este acest determinant nul (altfel sistemul are solutie unica, Cramer)
- care este matricea 2x3 extinsa si care este rangul ei. Rangul ei se poate calcula in doua moduri: (A) se foloseste o intrare constanta nenula pentru a aduce la o forma mai simpla sau (B) se calculeaza ceilalti doi determinanti, daca unul este nenul (in acelasi timp cu anularea determinantului sistemului avem incompatibilitate).
Mai sus puteam direct sa trecem la calcularea rangului fara calculul determinantului sistemului, dar didactic recomand mai bine calculul acesta intai.
Nu eliminam, aplicam algoritmul lui Gauss pentru matricea extinsa...
Algoritmul lui Gauss este atat de simplu, incat el a fost scos din toate programele, deoarece elevii au insistat sa se intample asa, deoarece ei erau astfel gata in mai putin de un minut si nu aveau nici o sansa sa se incurce si sa faca calculele de mai multe ori, gandindu-se adanc la ce au facut, lucru esential pentru a invata cum trebuie matematica. E numai o speculatie din partea mea.
Algoritmul lui Gauss merge cam asa...
Daca avem o matrice si vrem sa ii calculam determinantul sau rangul, putem face operatii elementare.
daca in matrice intrarile
A ... B
C ... D
(cu mai multe linii/coloane intre intrarile A,B,C,D de mai sus, dar A,B,C,D sunt plasate in colturie unui dreptunghi),
daca A nu este nul,
daca A este declarat PIVOT, atunci matricea urmatoare arata cam asa:
A ... B (linia pivotului se copiaza)
0 ... D-BC/A (sub pivot se face liniste / se scrie un 0, iar in rest pentru FIECARE INTRARE se efectueaza operatia... care aduce foarte a determinant 2x2, este (AD-BC) / (pivotul A) )
La noi scriem pur si simplu:
(Am marcat pivotul cu o cutie.)
Revin la povestit in afara latexului...
Daca U este nenul, sistemul dat are solutie unica.
Daca U=V=0, sistemul dat este solubil, are o infinitate de solutii (parametrizabile dupa x,y).
Daca U=0 si V este nenul, sistemul nu are nici o solutie (este incompatibil), deoarece ultima ecuatie in sistemul corespunzator ultimei matrici extinse este de forma 0z = V. Nici o sansa.
De aici incolo sper ca e clar, avem de rezolvat ceva ce se rezolva daca stim cum se apuca un sistem liniar in a,b... ceva de forma U=0 si V nu este nul.
[Citat]
2. Sa se determine valorile parametrului real m=a/2 astfel incat ecuatia
sa aiba cel putin o radacina reala in intervalul (1,2).
|
(Desigur ca am notat mai sus imediat a = 2m, ca sa nu car dupa mine coeficienti si numitori...)
Sa fixam un a nenul. (a=0 i.e. m=0 nu convine)
Notam cu f functia f : IR -> IR , f(x) = a xxx -5x -6a .
Se calculeaza
f(1) = -5(a+1) si
f(2) = 2(a-5) (sper).
Daca cele doua expresii au semn opus, f(1)f(2) < 0 atunci exista cel putin o radacina in (1,2).
Avem de fapt fie una, fie trei (numarate tinand cont si de multiplicitati).
f(1)f(2) este o functie de gradul II in m, semnul se discuta usor.
Daca f(1)f(2) este = 0 se iau a-urile la rand. (Sau se are grija mai departe.)
f(1)f(2) este > 0 pentru a in (-1,5)
Daca f(1)f(2) > 0 atunci exista o radacina reala in interval, daca si numai daca:
- exista exact doua radacini reale in (1,2) (cu multiplicitati)
Deci exista si un minim local in (1,2) - se ia f se deriveaza, dam de
3a xx - 5
si incercam sa vedem daca are radacina in (-1,5) .
Daca da, atunci in primul rand a>0 . Bine, in (0,5)...
radacina este atunci
r = radical( 5/(3a) ), care trebuie sa intre in (1,2),
(...deci 5/(3a) e in (1,4), deci 3a/5 e in (1/4,1), deci a e in (5/12, 5/3) , dar nu mai e nevoie...)
Daca are loc o schimbare de semn, atunci trebuie sa avem in plus
f(r) > 0 .
Calculam
f( r )
= a rrr - 5r -6a
= a ( 5/(3a) ) r -5r -6a
= (5/3-5) r - 6a
= - 10/3 r -6a < 0 .
Asa ceva nu se intampla.
Solutia se pare ca este:
a se afla in ( -oo , -1 ) U ( 5, +oo ) .
Cateva ploturi: Codul:
f(a,x) = a*x^3 - 5*x - 6*a
plot( x=1,2, f(-2,x) )
plot( x=1,2, f(-1,x) )
plot( x=1,2, f( 1,x) )
plot( x=1,2, f( 5,x) )
plot( x=1,2, f( 6,x) )
(GP/PARI)
---
df (gauss)
| [1]
|
Legendă:
|
 Access general
|
 Conţine mesaje necitite
|
47583 membri,
58606 mesaje.
|
|
|
|
 |
|
 |
© 2007, 2008, 2009, 2010 Pro-Didactica.ρ
|
