Gasiti, folosind progrsiile geometrice, forma sirului dat de:

unde

sunt reale si

.

Se considera u,v radacinile reale ale ecuatiei
xx = alfa x + beta .

Ele coincid sau nu.
In primul caz solutia generala este de forma
c u^n + d v^n .
Constantele c,d se determina din a,b;u,v unic.

In caz "degenerat" u=v solutia generala este de forma
(cn+d) u^n .
Constantele c,d se determina din a,b;u,v unic.

Problema este standard, recurente liniare de ordin doi,
http://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation#General_methods

Va multumesc pt rezolvare, insa, cum am scris in enunt, as vrea o rezolvare folosind PROGRESIILE GEOMETRICE.

Nu am dat din pacate rezolvarea, am vrut numai sa spun care este rezultatul.

Din pacate cererea de a rezolva folosind cumva progresiile geometrice este la fel de nematematica cum este si cererea de a folosi rigla si compasul in cazul de fata.
Da, putem folosi rigla in demonstratie, pentru a sublinia enuntul si putem folosi compasul pentru a incercui partea mai importanta din demonstratie. Aceasta nu este o gluma, cum nu a fost nici la Hardy pe vremea lui. (I-am reciclat gluma.) Cam la fel putem folosi si progresiile geometrice. Pentru ilustrare...

In linkul de mai sus se scrie...

General methods

For order 1, the recurrence

a_{n}=r a_{n-1} \,

has the solution an = rn with a0 = 1 and the most general solution is an = krn with a0 = k. The characteristic polynomial equated to zero (the characteristic equation) is simply t ? r = 0.


si acest lucru ne poate ajuta sa reducem cumva solutia noastra la o recurenta de gradul 1. In orice caz ne ajuta psihologic, deoarece daca beta se anuleaza avem o astfel de recurenta liniara.

Solutia acestei recurente este o progresie geometrica.

Dar pentru o recurenta liniara de gradul doi ca in problema putem (in cazul general) doar "semantic", sa ne ajutam cu progresii geometrice.
De exemplu daca facem propozitia:

"Cautam sirul solutie generala a fi suma a doua progresii geometrice..."
Putem noi ce-i drept sa cautam, dar daca de exemplu alfa = 2 si beta =-1 , a=0, b=1, nu dam de nici o progresie geometrica... ci de sirul ( n ) .

Exercitiile de forma
"Sa se rezolve... folosind..."
"Sa se rezolve... fara a folosi..."
sunt de natura nematematica. (In primul caz putem folosi marginal ceva, fara de fapt a folosi acest ceva. In al doilea rand nu folosim acel lucru interzis, dar folosim altceva din aceeasi specie de plante si animale, dar cu alt nume...)
Rog a i se comunica asa ceva celui ce cere matematica cu obstructii.

Pentru elevi mesajul este mult mai simplu, matematica este libera, fiecare poate sa inteleaga un lucru cum corespunde cel mai bine modului de gandire si operare. In cazul de fata, problema se rezolva usor, anume printr-o demonstratie prin inductie, daca stim de ce forma sa cautam solutia. Metoda este deci demonstratia prin inductie. (Tot asa cum in fizica metoda este experimentul.) Partea importanta este intuitia, cum gasim forma solutiei...
In matematica prezentarea este pusa pe primul plan de cele mai multe ori, propozitii simple folosind concepte relativ simple. La noi se creaza impresia falsa ca problema se intelege daca s-au inteles progresiile geometrice. Da, asa ceva se vinde mai usor, dar cei ce vor sa inteleaga sunt impinsi intr-o directie falsa...

[Citat] Pentru elevi mesajul este mult mai simplu, matematica este libera, fiecare poate sa inteleaga un lucru cum corespunde cel mai bine modului de gandire si operare. In cazul de fata, problema se rezolva usor, anume printr-o demonstratie prin inductie, daca stim de ce forma sa cautam solutia.

Exact.

[Citat] Nu am dat din pacate rezolvarea, am vrut numai sa spun care este rezultatul.

Asa este, numai ca eu stiind solutia bazata pe ce ati postat dvs am crezut ca e rezolvarea :D .

Multumesc pt rezolvare.