Aratati ca numarul 1994 are un multiplu care sa se scrie numai cu cifre de 6.

[Citat] Aratati ca numarul 1994 are un multiplu care sa se scrie numai cu cifre de 6.

Numarul 1/997 este periodic. Se "stie" fara demonstratie pe clasa a VI-a.
Ca sa intelegem si de ce, trebuie sa intelegem si demonstram algoritmul de diviziune cu 997 in baza 10 si sa vedem ca nu putem avea decat un numar finit de resturi posibile "pe drum", deci candva un astfel de rest se va repeta, iar el dicteaza din nou aceeasi "perioada" de resturi succesive pana la "aceeasi" repetare si tot asa.
Daca vrem sa intelegem de ce perioada vine "imediat dupa virgula", trebuie sa stim mai mult.

Cel mai bine stim de mica teorema a lui Fermat care ne spune ca pentru numarul prim 997 avem:

10^(997-1) - 1 se divide cu 997 .

Defapt noi de asa ceva avem nevoie pentru solutie. (Lucrul de mai sus se poate deduce din periodicitate...)
Numarul de mai mai sus este

10^(997-1) - 1 = 99999999...999999
si am omis cateva cifre de 9 si numai de 9 la mijloc.

Numarul de mai sus se divide cu 997, iar 997 este prim cu 9. Deci
99999999...999999 / 9 = 11111111...111111
se divide (inca) cu 997. Deci
11111111...111111 x 6 , un numar format in baya zece doar din cifra 6 , se divide cu 2 x 997 .


Avem mai ilustrativ:

(20:05) gp > \p200
realprecision = 202 significant digits (200 digits displayed)
(20:06) gp > 1./997
%16 = 0.00100300902708124373119358074222668004012036108324974924774322
9689067201604814443329989969909729187562688064192577733199598796389167
5025075225677031093279839518555667001003009027081243731193580742226680

(20:06) gp > ( 10^(996/6) -1 ) / 997
%17 = 100300902708124373119358074222668004012036108324974924774322
9689067201604814443329989969909729187562688064192577733199598796389167
5025075225677031093279839518555667

(Am rupt manual liniile prea lungi...)

De fapt explicit...

(20:11) gp > a = ( 10^(996/6) -1 ) / 9 * 6 / 997
%20 = 668672684720829154129053828151120026746907388833166165162153126044
801069876295553326646606486125041792042795051822133065864259445001671681
7118020728853226345703778
(20:11) gp > a * 997
%21 = 666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666
666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666
6666666666666666666666666666

Va multumesc.