Daca f,g:R->R sunt functii, f are perioada principala 2 si g are perioada principala 3, care e perioada principala a lui f+g?Este clar ca 6 este perioada pentru f+g, dar sigur, in cazul general, nu e posibil sa existe totusi o perioada mai mica?

Luam f a fi functia care este egala cu 1 in
... -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...
iar in rest egala cu zero.
Luam g a fi functia care este egala cu 10 in
... , -6, -3, 0, 3, 6, ...
iar in rest egala cu zero.

Avem (f+g)(0) := f(0)+g(0) = 1+10 = 11 .
Care este urmatorul punct cu valoarea 11?

(In cazuri SPECIALE putem da de perioada mai mica?)

[Citat] (In cazuri SPECIALE putem da de perioada mai mica?)

Aceasta era si intrebarea.

Da, de exemplu,

au perioada

, dar

are perioada

.

[Citat] [Citat] (In cazuri SPECIALE putem da de perioada mai mica?) Aceasta era si intrebarea.

(Nu chiar... de aceea am pus-o eu cum am crezut ca avem despre ce vorbi...)

Sa zicem ca exista o perioda principala pentru
h = f+g .
(Problema trebuie sa-mi ceara acest lucru mai intai... sau sa-mi spuna sa arat ca daca exista...)

O notez cu T>0.
Atunci gasim un intreg k>0 cu kT = 6, i.e. T=6/k .
Daca k=1 am terminat.
Daca k=2 sau k=3 rezulta ca una din cele doua functii are perioada si pe cmmdc(2,3) = 1, contradictie cu faptul ca 3 si/sau 2 erau perioade principale.
Daca k=4 ... se da de contradictie...

Daca k=5...
De ce nu?!
Destul de repede ajunge sa ne legam de problema urmatoare:

Exista functii periodice F,G,H : ZZ -> IR
cu F+G+H = 0
astfel incat:
H are perioada principala 6,
G are perioada principala 10,
F are perioada principala 15 ?

Da. Voi scrie + in loc de +1 si - in loc de -1 .
Iata functiile (enumerari de valori):

(Am rezolvat cu calculatorul un sistem de 6+10 necunoscute cu 15 conditii... Exista mai muuulte solutii. Cea de mai sus se poate scrie insa cel mai usor pe acest sit.)