Ideea mi-a venit in minte de la o problem? banal? g?sit? în c?r?ile pentru BAC: ?S? se calculeze probabilitatea ca alegând un num?r de dou? cifre produsul cifrelor s? fie un num?r par?. Evident c? problema se poate generaliza în sensul c? dac? n este un num?r natural nenul atunci se poate determina destul de u?or (cu ajutorul probabilitatii complementare) probabilitatea ca alegând un num?r de n cifre produsul cifrelor s? fie par P=1-5/(9*2^(n-1). De asemenea se poate merge relativ u?or cu generalizarea mai departe înlocuin condi?ia ca produsul cifrelor s? fie par cu aceea ca produsul cifrelor s? fie divizibil cu un numar prim dat p.(daca p nu este 2;3;5;7 atunci probabilitatea este nul? iar dac? p este 2;3;5 sau 7 probabilitatea se calculeaz? relativ u?or) Pentru p=3 avem P=1-(6^(n-1))/(9*10^(n-1))=...., pentru p=5 avem
P=1-(8^(n-1)/(9*10^(n-1))=.... , pentru p=7 avem 1-(8^(n-1))/(9*10^(n-1))
Dac? îns? vrem s? mergem mai departe cu generalizarea problemei ini?iale în sensul c? dac? n ?i a sunt numere natural nenule atunci s? încerc?m s? determin?m probabilitatea ca alegând un num?r de n cifre produsul cifrelor s? fie divizibil cu 2^a atunci lucrurile se complic? pu?in dar nu prea mult, problema fiind rezolvabil?.
Dac? îns? mergem cu generalizarea problemei mai departe ?i lu?m n ?i m naturale nenule ?i vrem s? determin?m probabilitatea ca alegând un num?r de n cifre produsul acestora s? fie divizibil cu m problema devine destul de grea. Evident c? dac? m are în descompunere al?i factori primi decât 2;3;5;7 atunci probabilitatea este nul?.
Problema devine complicat? atunci când m=2^a*3^b*5^c*7^d cu a;b;c;d naturale nu neaparat nenule. Deci problema la care m-am împotmolit în tentativa de a g?si o generalizare cât mai ?tare? este urm?toarea : ?Fie n un num?r natural nenul ?i a;b;c;d numere naturale nu neaparat nenule. S? se calculeze (în func?ie de n;a;b;c;d) probabilitatea ca alegând un num?r cu n cifre produsul cifrelor s? fie divizibil cu
2^a*3^b*5^c*7^d?. Are cineva vrei idee? V? mul?umesc.

Daca o cifra este nula am castigat.
Ne legam doar de numerele cu cifre nenule.
De 5^c si 7^d ne scapam repede. Trebuie sa consumam din n
c cifre egale cu 5 si
d cifre egale cu 7.
In calculul posibilitatilor vom avea de introdus coeficientul trinomial corespunzator n! / ( c! d! restul! ) si ne reducem repede la a avea de grija de divizibilitatea unui numar cu
k = n-c-d cifre nenule
prin 2^a 3^b .

Daca a > 3k am pierdut.
Daca b > 2k am pierdut.
Exista si conditii in a si b...
Exista o combinatorica ce trebuie descrisa...
Cel mai simplu vedem ca fiecare cifra are o "masca" a sa ce da cele doua ordine de divizibilitate...

m(1) = (0,0)
m(2) = (1,0)
m(3) = (0,1)
m(4) = (2,0)
m(5) = (0,0)
m(6) = (1,1)
m(7) = (0,0)
m(8) = (3,0)
m(9) = (0,2)

iar pentru numar de k cifre nenule numarul posibilitatilor se exprima "simplu":

Mai putem sa aruncam toate cifrele cu masca (0,0) intr-un sertar si sa explicitam, dar nu vad mult sens in a mai explicita.

Dupa parerea mea, functia care asociaza unui numar natural de n cifre produsul cifrelor lui nu este o functie demna de studiu. De asemenea, nici probabilitatea de a da de o divizibilitate deosebita, nici combinatorica subiacenta nu dau semne de structura. Ne putem pune problema de a rezolva asa ceva, dar nu vad o formula fara monstrii de sumare si conditionare in suma. Nu facem un pas efectiv in a scrie o formula explicita care sa spuna mai mult decat "numarul cazurilor favorabile supra numarul tuturor cazurilor" impreuna cu caracterizarea usor simplificata a ceea ce este un caz favorabil - la mine suma mastilor cifrelor sa fie peste (a,b) ...

Puteam desigur de la inceput sa iau masti fata de cele patru locatii prime,
m(1) = (0,0,0,0)
m(2) = (1,0,0,0)
m(3) = (0,1,0,0)
m(4) = (2,0,0,0)
m(5) = (0,0,1,0)
m(6) = (1,1,0,0)
m(7) = (0,0,0,1)
m(8) = (3,0,0,0)
m(9) = (0,2,0,0)
dar am incercat sa fac ceva cu faptul ca pe a treia si a patra componenta dam foarte rar de 1...

In acest punct putem sa ne dezbracam de cifre si divizibilitata, putem formula problema in termeni de cativa vectori

v1, v2, ... , vs

ce pot fi alesi cu probabilitati p1, p2, ... , ps ,
iar noi cerem probabilitatea ca alegand n dintre ei suma lor sa fie (pe fiecare componenta) dincolo de un vector dat.

In probabilitati se introduce in astfel de cazuri un fel de "serie generatoare", vectorii devin monoame de puteri respective, ei sunt ponderati cu probabilitati corespunzatoare, adunarea de k vectori corespunde ridicarii la putera k, se imparte formal la monomul peste care trebuie sa sarim, se separa parftea cu poli de cea fara, in partea fara poli se fac toate variabilele egale cu unu - evaluare, etc.

Intr-un caz particular expresia algebrica respectiva se poate calcula (poate).
dar calculatorul poate oricum calcula mai repede fara artificii de gandire...
(Dureaza doar mai mult timp calculul - poate.)

(Generalizarile sunt bine venite in locuri in care exista o structura...)