| Autor |
Mesaj |
|
|
Buna seara.
Se da o functie f:R --> R cu proprietatea ca f(x+y) = f(x) + f(y),oricare ar fi x si y atunci multimea E = {x apartine lui R | f(x) = x} are un numar finit de elemente,atunci acesta este impar.
Deci eu trebuie sa demonstrez ca daca multimea E are un numar finit de elemente atunci aceste elemente sunt numere impare?
Multumesc anticipat!
|
|
|
[Citat]
Se da o functie f : IR --> IR cu proprietatea ca
oricare ar fi x si y din IR are loc
f(x+y) = f(x) + f(y) .
Daca multimea E = { x apartine lui IR | f(x) = x } are un numar finit de elemente,
sa se arate ca numarul de elemente al lui E, in notatie
|E| = #E = card(E)
este (un numar) impar.
|
Buna!
Cardinalitatea lui E trebuie sa fie un numar impar, desigur.
0 este in E... Indicatie:
In primul rand, 0 este in E deoarece f(0+0)=f(0)+f(0), deci f(0)=0, deci 0 in E prin definitia lui E.
In al doilea rand, daca x este in E, i.e. f(x) = x, atunci -x este in E deoarece
0 = f(0) = f( x+(-x) ) = f(x) + f(-x) = x + f(-x) .
Deci E sta pe loc la inmultirea cu -1, elementele din E vin in perechi cu exceptia lui 0 care... cred ca pana aici vroia problema sa mergem, aici avem |E| impar. Dar este risipa de nevointa daca ne oprim in mijlocul drumului.
In al treilea rand, daca un element nenul este in E, il notam cu a,
atunci inductiv se demonstreaza ca na este in E pentru orice n intreg...
De exemplu
f(2a) = f(a+a) = f(a)+f(a) = a+a = 2a,
f(3a) = f(2a+a) = f(2a)+f(a) = 2a+a = 3a,
f(4a) = f(3a+a) = f(3a)+f(a) = 3a+a = 4a,
si asa mai departe. La fel cu -a.
(Cele de mai sus se numesc demonstratie prin convingere prin obosirea cititorului - unii numesc asa ceva si inductie didactica...)
Deci E are fie un singur element, pe 0, nu are de ales, fie o infinitate...
Am aratat chiar mai mult, E finita => E={0} => |E|=1, un numar impar.
---
df (gauss)
|
|
|
Va multumesc mult.Am prins ideea 
|
Access general
Conţine mesaje necitite
