[Citat]
O proprietate des-utilizata e:
Daca f : (a,b) -> IR e o functie continua si strict crescatoare,
atunci Im f = (l1,l2)
unde l1, l2 sunt limitele functiei in capetele a si b.
... |
Daca vrem sa ne descurcam fara sa ne facem mainile murdare,
putem presupune ca l1 si l2 sunt 0 si respectiv 1, chir si in cazul in care sunt infinite.
(Avem o bijectie monotona a lui (-pi/2,+pi/2) cu (-oo,+oo) data de tan si arctan, astfel putem compune f cu arctan si aterizam intr-un interval marginit. Destul de repede putem norma ( l1, l2 ) la (0,1).)
Atunci f : (a,b) -> (0,1) surjectiva (deci si bijectiva) se extinde unic prin continuitate la o functie stict crescatoare (aici e munca, ca sa fim sinceri - undeva tot ne facem mainile murdare) surjectiva (deci si bijectiva)
F : [a,b] -> [0,1]
si "avem capetele in mana" numai bine de aplicat Rolle (ca mai jos).
Altfel aplicam Rolle direct.
Avem doua incluziuni de demonstrat.
Daca y nu este in intervalul ( l1, l2 ), avem de aratat ca y nu este de forma f(x) cu x in domeniul lui f.
Presupunem prin absurd ca exista x cu f(x) = y >= l2 .
Atunci tot [x,b) se duce pe de o parte in [l2,+oo), pe de alta in (-oo,l2). Contradictie. La fel si pentru celalat caz, f(x) = y <= l1 .
Daca y este in intervalul ( l1, l2 ), atunci
- din l1 < y si definitia limitei l1, rezulta ca in vecinatatea ( -oo, y ) a lui l1 ...
deci exista un a' in domeniul lui f cu f(a') in ( -oo, y ) .
- din l2 > y si definitia limitei l2, rezulta ca in vecinatatea ( y , +oo ) a lui l2 ...
deci exista un b' in domeniul lui f cu f(b') in ( y , +oo ) .
Aplicam acum Rolle pentru f si [a',b'] cu f(a') < y < f(b') , deci exista x intre a' si b' cu f(x) = y .
Access general
Conţine mesaje necitite
