Stabiliti daca exista numere naturale nenule si distincte x,y,z, pentru care x^3+y^3+z^3=2011^3

Problema are desigur un caracter puternic de exploatat finitudinea cautarii si e in cadrul de actiune al calculatoarelor din zilele noastre.

Ideea de a rezolva modulo un "modul" M "secret nu poate duce direct la solutie, deoarece x,y,z de forma 0 mod M, 0 mod M, 2011 mod M va fi mereu ceva ce trebuie luat in calcul. (De obicei mai apar si alte solutii mod M.)

De aceea probabil ca avem ceva de programat.
Ca sa mai scapam din posibilitatile de cautare, observam ca modulo 9 resturile unui cub sunt 0,-1=8,1 mod 9.
Trebuie sa le combinam incat sa obtinem 1.
Doar doua posibilitati (dupa schimbarea eventuala a ordinii):

0,0,1 si
1,1,8 .

Urmatorul cod python nu a gasit nimic pentru ultimul caz:

In loc de punctele de plecare (din 9 in 9 pana la 2012-1) luate mai sus, 1,1,8, am introdus si 9,9,1 si inca nu am dat de solutii. De stabilit, am stabilit...

Am mai cautat si alte module M pentru care macar speranta de a avea reducere de cazuri sa nu moara direct. Iata ce cazuri apar:

Resturi modulo 9 : [0, 1, 8]
2011^3 este 1 modulo 9
Posibilitati de combinare:
0 0 1
1 1 8

Resturi modulo 7 : [0, 1, 6]
2011^3 este 1 modulo 7
Posibilitati de combinare:
0 0 1
1 1 6

Resturi modulo 27 : [0, 1, 8, 10, 17, 19, 26]
2011^3 este 10 modulo 27
Posibilitati de combinare:
0 0 10
1 1 8
1 10 26
1 17 19
8 10 19
10 10 17
19 19 26

Resturi modulo 13 : [0, 1, 5, 8, 12]
2011^3 este 1 modulo 13
Posibilitati de combinare:
0 0 1
1 1 12
1 5 8

Resturi modulo 19 : [0, 1, 7, 8, 11, 12, 18]
2011^3 este 11 modulo 19
Posibilitati de combinare:
0 0 11
0 12 18
1 11 18
7 11 12
8 11 11

(De fiecare data am incercat sa iau un prim p care este fie 3, loc unde se "ramifica" ridicarea la a 3-a, derivata formala..., fie este de forma p=3k+1, astfel incat ma astept la k valori diverite de cuburi modulo p - mica teorema a lui Fermat si existenta elementului primitiv...)

Combinand ma astept sa dau de ceva "fiecare cu fiecare",
Resturi modulo 63 : [0, 1, 8, 27, 28, 35, 36, 55, 62]
2011^3 este 1 modulo 63
Posibilitati de combinare:
0 0 1
0 28 36
1 1 62
1 8 55
1 27 36
1 28 35
8 28 28
36 36 55


Exista ceva "mai rapid"?
(Factorizand x^3+y^3 si 2011^3-z^3 poate...)