Aici am mai mult o problema de scriere...Adica e suficient de spus ca o functie monotona pe un interval are cel mult discontinuitati de speta intai?

Da, ar ajunge, mai observam ca x -> x pe Q impune atunci ca functia sa fie f(x) = x, ceea ce nu se intampla.

Solutia de clasa a IX-a este insa de preferat in acest caz.
Presupunem prin absurd ca f e monotona pe un interval I = [a,b], a,b reale, a<b.
Il facem eventual mai mic si a,b sunt rationale.
In acest interval exista o infinitate de numere rationale, in particular f este crescatoare pe I, deoarece pe (Q taiat cu I) este.

Deoarece f restrictionata la semiaxa reala pozitiva este descrescatoare ne aranjam repede cu b<0. (Inclusiv daca b=0...)

Fie t<0 punctul cu t = 1-tt .
Daca t este in (a,b) luam un subinterval J in care t nu mai este.
Il renotam pe J cu I.
Deoarece a<b avem deja si f(a) < f(b) .

Daca a<b<t<0, atunci 1-aa < a < b < t = 1-tt ,
alegem y irational intre 1-aa si 1-bb,
rezolvam 1-xx = y, rezulta a<x<b<t si x irational,
(deoarece x in Q implica y in Q),
deci

a<x<b se duce prin f in
a > 1-xx=y < b
a = f(a), y=f(x), b=f(b).

Analog si cazul in care t<a<b .

(Desenul celor doua grafice x -> x si x-> 1-xx clarifica situatia.)