Fie x apartine S_dN si M < N. Dorim sa calculam valorile Transformatei Z ale lui x ?n cele M radacini de ordin M ale unitatii. Sa se indice (si sa se justifice) o procedura de calcul ?n care sa intervina o singura TFD_M )transformata fourier discreta de ordin M) aplicata unei secvente y obtinute din x printr-un
artificiu adecvat.

Ce este S_dN? (Sfera de raza d>0 de dimensiune N scufundata in planul real/complex euclidian (N+1)-dimensional.)

Din pacate nu este clar ce obiect trebuie transformat.
x este un punct pe sfera?
Care este legatura transformarii cu transformarea Fourier discreta de pe
http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform ?

Ce se poate folosi, care este sursa problemei, care este miza (tema de casa, inters propriu, dorinta de a intelege neaparat transformata Z, de exemplu) ...?

(Nivelul problemei presupune deja un oarecare nivel de inteligenta pentru deprinderea scrierii in latex. Din pacate nu putem oferi altceva, dar o cale ne ajunge. Sa fim pragmatici.)

Descrierea cadrului si insirarea catorva incercari proprii ar ajuta cercul de cititori acum si in urmatorii ani sa inteleaga despre ce este vorba. Forumul acesta nu incearca sa creeze insule de cate doi oameni, unul propune criptic, celalat da un argument criptic...

S_dN este clasa semnalelor discrete, x sau x[n] este semnalul de intrare.

sursa problemei este din: Oppenheim A.V., Schafer R. ? Digital Signal Processing, Prentice Hall, NJ, USA, 1985. ; interesul este studiu propriu

Bun, am facut rost de pe torenti de aceasta carte minunata de 900 de pagini, computerul meu are deja probleme sa treaca de la o pagina la urmatoarea.

De la pagina 94 pana la 127 este vorba de transformata Z,
ea este implicit definita ca o funcitie

Z : { siruri x = ( x[n] : n in ZZ ) } -> { serii formale de puteri in variabila complexa z }

cu mentiunea ca pentru anumite (clase de) siruri facem rost de serii formale cu domeniu de convergenta (de tip inelar) netrivial.

Unde se afla in aceasta carte simbolul

sau ceva asemanator (probabil pentru clasa sirurilor x ce iau valori nule in afara intervalului [0,N] - siruri care se duc in polinoame de grad N) ?

Transformata Fourier "vede" din transformata Z exact partea in care |z|=1.
Problema cere sa ne legam mai indeaproape de particica radacinilor de ordin dat ale unitatii de pe acest cerc. In acest limbaj, ce vrea din nou problema initialade la noi?

Unde este de gasit in aceasta carte TFD_M (sau poate DFT_M), transformata Fourier discreta de ordin M, si in ce sens are ea ordinul M? Ce este ordinul unei transformate Fourier?

Nivelul problemei si maturitatea matematica legata de acest interes propriu presupun deja faptul ca latex-uirea este o bagatela... asadar rog a se tipari partea de matematica inechivoc.

Stilul cartii este foarte periat, nu se propun probleme de cautat artificii.
Asadar inca o data: care/cine este sursa problemei, a notatiilor si a modului scarpinat de pus problema?

http://www25.zippyshare.com/v/81874675/file.html

problema 39

Problema este simplu de perceput, dar greu de scris.

O sa incerc in cuvinte, fac economie de formule doar din cauza ca altfel trebui esa le bat in notatia omului...
Fixam M<N .
Notez cu [0,N) intervalul de numere intregi de la 0 la N-1 (inclusiv). Este

___
0,N

in notatiile din curs. Luam acum functii x[.] de la acest interval spre C.
(Cu toata bunavointa nu inteleg de ce trebuie sa le punem tilda.)

o astfel de functie putem sa o identificam usor cu tupletul cu N componente
( x[0] , x[1] , ... , x[N-1] ) .
Transformata Z duce atunci functia x[.] / tupletul de mai sus in
"polinomul de variabila (1/z)" / functia polinomiala corespunzatoare
cu acesti coeficienti.

(A fost greu sa gasesc definitia cu conventia de mai sus in script.)


Transformata Fourier discreta a lui x[.] de mai sus este tot o functie pe [0,N) / un tuplet cu N componente.
Notez cu Fx transformata. Atunci:

Problema are insa de-a face cu transformata Fourier a unei functii pe [0,M).
Luam acum pe rand:

Un x = x[.] cu tupletul asociat ( x[0] , x[1] , ... , x[N-1] ) .

Un M<N si o radacina w !! de ordin M !! a unitatii. NU NEAPARAT w(M) = exp( -2 pi i / M ) ! Ci (eventual) o putere...

Transformata Z a lui x, calculata in w este

x[0] + x[1]w + ... + x[M-1] w^(M-1) + x[M] + ... + x[N-1] w^( (N-1) mod M )

Grupam mai sus formal termenii in 1, w, ww, ..., w^(M-1) .
Dam de o suma cu termenii
1.( x[0]+x[M]+x[2M]+... ) (asta daca 2M<N, daca nu am tiparit cam mult, sper ca e clar unde ne oprim)
w.( x[1]+x[M+1]+... )
ww.( x[2]+x[M+2]+... )
si asa mai departe.

Coeficientul y[k] al lui w^k este
suma dupa toti s de la 0 la N-1 care sunt congruenti cu k modulo M.
din x[ s ] .

Care este transformata Fourier de ordin M a lui y? In care punct trebuie luata ca sa dam de ... ?