Am reusit sa arat ca daca n>1 este un numar impar atunci orice element din inelul claselor de resturi Z(n) se poate scrie ca suma a doua elemnte inversabile. Aceasta din urma proprietate este valabila si pentru inele care sunt produse ale unor inele de tip Z(n) cu n impar , pentru orice corp cu cel putin 3 elemente (finit sau nu) si ca daca doua inele A si B au aceasta proprietate atunci si produsul direct A*B are aceasta proprietate. Ceea ce insa nu reusesc este a gasi o caracterizare a inelelor pentru care orice element este suma a doua elmente inversabile. Pentru inelele finite, este cumva conditia de a avea cracteristica impara necesara si suficienta ?

[Citat] ... Pentru inelele finite, este cumva conditia de a avea caracteristica impara necesara si suficienta ?

(Caracteristica nu este bine definita, daca avem subinele de caracteristici diferite, dar in sensul natural este ceea ce conteaza in solutie.)

Fie R un inel comutativ, *finit*, cu 1.
Din folclor se stie ca orice element din R este
fie unitate,
fie divizor al lui 0.

Nu ma leg de divizori ai lui zero, dar ceea ce vine se poate adapta...

Daca putem sa-l scriem pe unu ca suma de doua unitati,
putem face acelasi lucru cu orice unitate.
Putem sa ne aranjam cautand subinelul cel mai mic al lui R.
El este "generat de 1".
Fie m minimal cu 1+1...+1 (de m ori) = 0 .

Notez cu ZZ/m inelul de intregi modulo m.
(Notatie internationala alaturi de notatia explicita ZZ / mZZ .)
Daca m este putere de numar prim ma declar multumit.
Altfel putem sparge m=st cu factorii s,t primi intre ei.

Atunci exista un izomorfism canonic

ZZ/m ~ ZZ/s x ZZ/t ,
x mod m -> ( x mod s , x mod t ) .

(Este morfism de inele, injectiv, doar 0 mod m se duce in (0 mod s, 0 mod t), si din cauza aceluiasi numar de elemente si surjectiv - atunci inversul lui din categoria aplicatiilor intre multimi este compatibil si cu operatiile, deci este invers si in categoria inelelor.)

Desigur ca ajunge sa-l scriem.
Avem o spargere R = SxT . (Izomorfism, strict vorbind. Adica = e ~ .)
Daca scriem 1(S) = s'+s'' si 1(T) = t'+t'' , atunci
(s', t') este unitate in SxT,
(s'', t'') este unitate in SxT,
iar suma (pe componente)
(s', t') + (s'', t'') = (1,1) este unitatea lui SxT.

Transportam structura pe R si am terminat.

Astfel, dupa spargeri repetate ajunge sa ne legam de
( ZZ/q , + , * )
unde q este o putere a unui prim p.
Structura acestui inel este bine cunoscuta. Este un inel local, "uniformizatorul" este p si si fara astfel de propozitii emfatice se arata ca orice element din ZZ/q se scrie unic sub forma

a(0) + a(1) q + ... + a(k-1) q^(k-1)

cu "cifrele" / coeficientii a(0), a(1), ... din {0,1,...,p-1} .
Atunci un element este inversabil in ZZ/q daca si numai daca "cifra" a(0) nu este 0. (Ci este intre 1,...,p-1.)
(Este o experienta importanta de a demonsta acest lucru. Cine intelege ce se petrece aici nu mai are nici o problema cu lema lui Hensel. Corpurile p-adice devin un joc...)

Daca p>2 putem usor scrie 1 = 2 + (-1) , suma de doua unitati.
2 = 2 + 0p + 0pp + ... inversabil
-1 oricum inversabil, dar daca vrem sa-i vedem scrierea
-1 = (p-1) + (p-1)p + ... + (p-1)p^(k-1) .

Folosim acum aceasta constructie explicita pentru R.
R este o algebra peste ZZ/m.
Are inmultire cu scalarii din ZZ/m compatibila cu operatiile.

Cazul in care m nu se divide cu 2.
Atunci scrierea 1 = u+v din ZZ/m ca suma de inversabili exista.
Ea este mot-a-mot si o scriere in R.
(Morfismul structural de ZZ/m-algebra trebuie aplicat...)
Raspunsul este deci afirmativ si se bazeaza pe o constructie explicita.

Cazul in care m se divide cu 2.
(Aratam ca nu avem mereu ghinion.)
Putem trece la un inel cat, astfel incat ajunge sa aratam ca se poate sau nu se poate face nimic in cazul in care m este o putere a lui 2.

Luam un ideal maximal M in R.
Ne uitam la corpul R/M.

Daca are doua elemente, am pierdut.
Daca are mai mult de doua elemente, am castigat. Luam un element x diferit de 1 din R/m si atunci 1+x=1-x nu este 0,1,x, deci este alt element, deci este inversabil. Am scris astfel
1 = x + (1-x) si am castigat.

Exemple:
Notatie: GF(q) este unicul corp cu q elemente (pana la un izo). q este putere de prim in mod necesar. GF ~ general field.

Corpul GF(4) are caracteristica 2 SI proprietatea (P) ca orice element se scrie ca suma de doi inversabili.
Inelul ZZ/2 nu are (P).
Inelul ZZ/8 nu are (P).
Inelul ZZ/2 x ZZ/8 nu are (P).
Inelul GF(4) x ZZ/16 nu are (P) deoarece avem un morfism spre ZZ/16 care nu are (P).
Avem izomorfismul GF(4) = GF(2)[X] / (polinom ireductibil de grad 2) .
Un "astfel de" polinom ireductibil este XX + X + 1 deoarece nu are nici o radacina (printre singurele posibile 0 si 1.) GF(2) este desigur ZZ/2 .
Putem atunci sa facem si constructia:

- T = ZZ/8[ X ] este inelul de polinoame in necunoscuta (transcendenta) X peste ZZ/8 .
- in acest inel introducem relatia de echivalenta care declara P~Q pentru P,Q polinoame daca si numai daca P-Q se divide cu XX+X+1. I.e. daca si numai daca P-Q se afla in "idealul" generat de XX+X+1 .
- Clasele de echivalenta cu operatiile din T luate pe reprezentanti dau nastere la o structura de inel,

R =
(ZZ/8)[X] modulo (XX+X+1) =
(ZZ/8)[X] / (XX+X+1) .

(Cine intelege ZZ/8 intelege si a doua constructie "/" .)

Intrebare:
Are R proprietatea (P)?


Proprietatea (P) nu mi se pare a fi "de natura algebrica (structurala)", desi in K-teorie am avut deseori de inteles lucruri asemanatoare. Asa cum este pusa problema nu vad insa perspectiva.
In general putem aplica aceleasi tehnici de alegere a unui ideal maximal si de a vedea pe corpul cat daca constructia e posibila. Constructia e posibila pe orice corp diferit de GF(2). Deci daca R are unul sau mai multe ideale maximale M cu R/M = GF(2) constructia nu este posibila. Deja ajungem sa ne legam in general de "ceva complicat" (idealele lui R).