Nu ?tiu dac? merge întrebat aici, dar încerc?m Am luni un examen ?i niciunui coleg nu-i sînt clare urm?toarele:

1. Ar?ta?i c? spa?iul proiectiv f?r? un punct,

nu este nici proiectiv, nici cuasiafin.
2. Ar?ta?i c?

este bira?ional izomorf cu

, nu izomorf. (Prin izomorfism bira?ional se în?elege c? exist? dou? aplica?ii definite prin func?ii ra?ionale, inverse una celeilalte, definite peste tot).

Mul?umesc.

P.S. V? rog, dac? se poate, r?spunsurile s? fie cît mai elementare (poate ?i intuitive), f?r? topologii, teorii de (co)omologie, scheme sau fascicole. Este vorba de cam primele exerci?ii date dup? definirea variet??ilor (cuasi)afine ?i (cuasi)proiective, la un curs introductiv de geometrie algebric?.

[Citat] Nu ?tiu dac? merge întrebat aici, dar încerc?m Am luni un examen ?i niciunui coleg nu-i sînt clare urm?toarele: 1. Ar?ta?i c? spa?iul proiectiv f?r? un punct, nu este nici proiectiv, nici cuasiafin. 2. Ar?ta?i c? este bira?ional izomorf cu , nu izomorf. (Prin izomorfism bira?ional se în?elege c? exist? dou? aplica?ii definite prin func?ii ra?ionale, inverse una celeilalte, definite peste tot). Mul?umesc. P.S. V? rog, dac? se poate, r?spunsurile s? fie cît mai elementare (poate ?i intuitive), f?r? topologii, teorii de (co)omologie, scheme sau fascicole. Este vorba de cam primele exerci?ii date dup? definirea variet??ilor (cuasi)afine ?i (cuasi)proiective, la un curs introductiv de geometrie algebric?.

Din pacate notiunea de "spatiu proiectiv" nu este tocmai bine definita.
O definitie ca sa stiu despre ce este vorba (mai ales in ce categorie lucram - este geometrie algebrica sau un fel de geometrie a configuratiilor?) ar fi bine venita. (Tare mi-e teama ca lucram in conditiile anului 1960 iar profesorul a despachetat propriile cursuri de facultate...)

De mult am cerut ca profesorii si ministerele sa puna o data pdf-urile liber la bataie.

[Citat] Din pacate notiunea de "spatiu proiectiv" nu este tocmai bine definita. O definitie ca sa stiu despre ce este vorba (mai ales in ce categorie lucram - este geometrie algebrica sau un fel de geometrie a configuratiilor?) ar fi bine venita. (Tare mi-e teama ca lucram in conditiile anului 1960 iar profesorul a despachetat propriile cursuri de facultate...) De mult am cerut ca profesorii si ministerele sa puna o data pdf-urile liber la bataie.

Este un curs introductiv de geometrie algebrica peste un corp algebric inchis, cel mai des al numerelor reale. Adica fara geometrie complexa. 'Manualul' este I. R. Safarevici - Bazele geometriei algebrice, ca idee.

Definitia spatiului proiectiv cu care lucram este similara cu cea a spatiului proiectiv (al directiilor) asociat unui spatiu vectorial, adica

. Relatia de echivalenta este data de apartenenta la aceeasi dreapta prin origine.

[Citat]

Cred ca merge constructia aproape identic si pentru proiectiv. Adta arata ca sint birational izomorfe, caci avem functii rationale inverse una celeilalte, definite peste tot. Dar de ce nu sint izomorfe?

Multumesc.

Scuze, aseara am postat un pic in graba, de pe telefonul mobil.

Am revazut acum solutia dumneavoastra si revin cu comentarii:

1. Definitia spatiului proiectiv (noi lucram peste un corp generic k, algebric inchis si comutativ, exclus corpul complex) am dat-o ca fiind spatiul "directiilor" din afinul cu o dimensiune mai mult, fara zero, factorizat la echivalenta pe care am descris-o: Coordonatele omogene din P sint echivalente daca sint proportionale.

2. La prima problema ati omis faptul ca se cere demonstratia pentru n>1. Or dvs ati dat contraexemplu fix in acest caz...

3. La problema a doua am inteles.
As continua asa: daca AxA birational izomorf cu P2, atunci e clar ca si PxP va fi cu P2, folosind cam aceleasi aplicatii. Dumneavoastra (intentionat sau nu) ati notat coordonatele din afin tot cu :, cum noi notam omogenele Oricum, e clar ca aceleasi aplicatii o sa mearga si in proiectiv.

Inca nu mi-e clar, insa, de ce nu sint izomorfe...Aplicatiile f si g sint undeva nedefinite sau e vreo proprietate pe care unul nu o are si celalalt da?

Multumesc din nou.

[Citat] 2. La prima problema ati omis faptul ca se cere demonstratia pentru n>1. Or dvs ati dat contraexemplu fix in acest caz...

Da, cer scuze, am omis n>1.

Spatiul proiectiv de dimensiune n>0 este compact, iar daca ii scoate un punct nu mai este, deci nu dam de un spatiu proiectiv.

Sa presupunem ca avem un izomorfism de varietati algebrice intre
X = spatiul proiectiv de dimensiune n fara un punct si
Y = subvarietate deschisa dintr-un spatiu afin.
Atunci Y -> X ...

revin maine

[Citat] Dumneavoastra (intentionat sau nu) ati notat coordonatele din afin tot cu :, cum noi notam omogenele

Cer scuze, vroiam sa am numai P-uri.
Am copiat prea mult de colo-colo.

Aplicatiile nu realizeaza chiar bijectii. De exemplu, daca componenta 0 (in x si/sau y si/sau z) se anuleaza nu dam (in parte) de aplicatii bine definite.
(Toate componentele unei parti proiective se anuleaza.)

Am primit ast?zi problema 2 la examen ?i, dup? ceva s?p?turi prin diverse surse, am reu?it s? aflu ?i alt? solu?ie pe care am scris-o în tez? ?i se pare c? a fost bine.

Deci:
În

, orice dou? curbe se intersecteaz? (Bezout), pe cînd în

, pentru

.

Izomorfismul bira?ional poate fi dat de un fel de proiec?ie (stereografic?). Sau, trecînd la corpurile de func?ii, observ?m c? este vorba despre corpuri izomorfe.

Mul?umesc oricum. (Eu am scris ?i aplica?iile definite de dumneavoastr?, f ?i g )