Sa se gaseasca toate numerele naturale nenule n care au proprietatea ca pentru orice numar natural nenul a, cu a^2<=n, il divide pe n.

Sincer nu prea am inteles...daca imi poti explica mai mult, te rog...sau daca are cineva alta solutie...

[Citat] Sincer nu prea am inteles...daca imi poti explica mai mult, te rog...sau daca are cineva alta solutie...

Eu am rezolvat alta problema, si anume:

[Citat] Sa se gaseasca toate numerele naturale nenule care au proprietatea ca orice numar natural impar , cu , il divide pe .

asa cum stiam problema initial. Pentru varianta propusa, se mai elimina cateva solutii, pentru ca

trebuie sa fie par ...

Din demonstratia de mai sus, Postulatul lui Bertrand (sau teorema lui Cebasev) se gaseste [url]http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_postulate (iar nu-mi merge linkul spre wikipedia, dati cautare cu Bertand's postulate.)

[Citat] Sa se gaseasca toate numerele naturale nenule n care au proprietatea ca pentru orice numar natural nenul a, cu a^2 <= n, a il divide pe n.

Incerc sa dau alta solutie care nu foloseste un rezultat asa "puternic" din teoria numerelor,
http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand's_postulate.

Plecam cu o solutie potentiala n.
Il incadram pe n intre doua patrate perfecte,

ss <= n < ss + 2s + 1

Sa zicem ca s>5, celelalte cazuri le transam oricum manual.
Atunci n se divide cu s, s-1 si s-2, iar aceste numere sunt de asa natura incat cmmmc al lor este
- fie C = s(s-1)(s-2) daca s este impar
- fie C = s(s-1)(s-2)/2 daca s este par.

In particular rezulta C <= n < (s+1)^2 .
Deci s(s-1)(s-2) < 2(s+1)(s+1) .
Studiul functiei diferenta, f: IN -> IN ,
f(s) = s(s-1)(s-2) - 2(s+1)(s+1) de exemplu folosind
f(t+6) = t^3 + 13t^2 + 46t + 22
arata ca avem de considerat doar s-uri din multimea {1,2,3,4,5}.
(In fine, 5 este impar, deci diferenta care conteaza este
s(s-1)(s-2) - (s+1)(s+1)... Ne putem scapa de 5 deja acum.)

Luam cazurile ramase pe rand:

n natural se afla in [1,4) .
Ce valori se divid cu 1?
Solutii obtinute: {1,2,3} .

n natural se afla in [4,9) .
Ce valori se divid cu 2=cmmmc(1,2)?
Solutii obtinute: {4,6,8} .

n natural se afla in [9,16) .
Ce valori se divid cu 6=cmmmc(1,2,3)?
Solutii obtinute: {12} .

n natural se afla in [16,25) .
Ce valori se divid cu 12=cmmmc(1,2,3,4)?
Solutii obtinute: {24} .

n natural se afla in [25,36) .
Ce valori se divid cu 60=cmmmc(1,2,3,4,5)?
Solutii obtinute: {} .

[Citat] Sa se gaseasca toate numerele naturale nenule n care au proprietatea ca pentru orice numar natural nenul a, cu a^2<=n, il divide pe n.

Din proprietatea din enunt rezulta ca toti factorii primi mai mici sau egali cu
trunc(sqrt(n)) trebuie sa divida pe n si deci produsul acestori factori trebuie
sa-l divida pe n .
Fie m =trunc (sqrt(n))si u=pi(trunc(sqrt(m)))
Rezulta ca p(1)*p(2)*...*p(u)divide pe n

Daca m este un numar natural si f(m) este produsul tuturor numerelor prime mai mici sau egale cu m atunci se poate demonstra ca de la un rang incolo ca
f(m)>(m+1)^2.
Intr-adevar, pentru m suficient de mare exista cel putin cate un numar prim intre
m/8 si m/4 , intre m/4 si m/2 si intre m/2 si m si deci de la un rang incolo
f(m)>(m^3)/64 . Dar de la un rang incolo (m^3)/64>(m+1)^2.
Deci de la un rang incolo, ce poate fi determinat si nu este asa de mare avem ca
f(m)>(m+1)^2.
Ca urmare, de la un rang incolo avem ca
p(1)*p(2)*...*p(u)>n si deci relatia de divizibilitate de mai sus nu poate avea loc si ca urmare, de la un rang incolo nu exista numere cu porprietatea din enunt. Restul este o problema de programare sau o problema de lucru cu foaia si pixul/stiloul/creionul

Domnule @Gauss, imi puteti explica, va rog frumos, de ce trebuie ca "C<=n"?

[Citat] ...de ce trebuie ca "C<=n"?

Orice intrebare de detaliu este intotdeauna binevenita cu multumiri de partea mea pentru efortul de a intelege.

Incerc sa dau un exemplu cu numere...
Il iau pe n=24...

La noi este atunci n incadrat intre patratele
ss = 4.4 = 16 si
(s+1)(s+1) = 5.5 = 25 .

Deci s = 4.
Problema cere divizibilitatea cu toate numerele naturale a de la 1 la s=4.
Deci si cu "ultimele trei".
Ultimele trei sunt in cazul nostru 2,3,4.
n este divizibil cu ele.
Deci si cu cel mai mic multiplu al celor trei care este
C = 2.3.4 / 2 = 4(4-1)(4-2) / 2 = s(s-1)(s-2) / 2 .


Acest cmmmc( s, s-1, s-2 ) il divide pe n,
deoarece s, s-1, s-2 il divid in parte.
Deoarece C il divide pe n, rezulta C <= n in particular.

Acesta este raspunsul la intrebare.

(De fapt, puteam intrezari de la inceput ca in acest mod reducem problema la o cautare finita, deoarece
* s este "asimptotic" la fel ca radical din n,
* C = s(s-1)(s-2) / 2 este "asimptotic" atunci cam (radical din n)(radical din n)(radical din n) / 2 = n (radical din n) / 2 ,
* iar aceasta asimptotica o biruie repede pe cea a lui n.)

Daca inca e ceva neclar, rog a se pune o intrebare fara retineri.
(Pusul intrebarii este un pas inainte intotdeauna.)

Am inteles!

Multumesc pentru rabdarea de a-mi explica!