Sa se calculeze

Nu stiu de ce mi-a dat pentru k>2 +infinit. Ma indoiesc ca am procedat bine.

EDIT: (Am reeditat valoarea integralei.)

Va multumesc, dar nivelul la care sunt momentan nu imi permite sa inteleg rezolvarea pe care ati dat-o.

Cer scuze, am plecat de la ideea ca problema este deja plasata la nivelul clasei a XII-a iar sumele Riemann sunt deja clarificate. O sa dau atunci solutia de clasa a a XI-a.

Informatia despre faptul ca a este pi^2 / 6 nu este necesara.
Seria si valoarea ei sunt cunoscute de pe vremea lui Euler.
http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem

Sa trecem la problema.

Pentru k=0,1,2,3 avem formule cunoscute. Pentru k natural general avem Cesaro Stolz.
(La noi ajung formulele pentru 0,1,2,3.)
http://en.wikipedia.org/wiki/Stolz-Cesàro_theorem
Acel (k+1) este coeficientul dominant de grad n din expresia

(n+1)^(k+1) - n^(k+1)

dupa ce expandam primul termen cu formula binomiala.
Mai sus in prima postare am produs o greseala, (k+1) nu l-am tiparit in numitor.

Scriu limita ca si

Si apoi folosesc Cesaro Stolz pentru 0/0:

Si de aici rezulta ca limita este

(tot dupa cesaro stolz). Stiu ca nu este cea mai buna metoda, dar e buna?