IX.324. Rezolvati ecuatia cos[x]+cos{x}=sin x.

VIII.325. Aflati numerele naturale consecutive a,b,c,d stiind ca (a+b+c+d)^2=a^3+b^3+c^3+d^3.

O.V.279. Alina si Bianca au impreuna tot atatea mere cate are si Cristina.Alina si Cristina au impreuna de doua ori mai multe mere decat Bianca.De cate ori e mai mare numarul de mere pe care le au impreuna Bianca si Cristina decat numarul de mere al Alinei?

O.VII.289. Fie S suma divizorilor naturali ai numarului n^n.Aflati restul impartirii lui S la n in cazurile: a)n=6 b)n=15

Va multumesc!

[Citat] IX.324. Rezolvati ecuatia cos[x]+cos{x}=sin x.

Sa rezolvam impreuna. Plecam cu necunoscuta reala x si o spargem unic sub forma
x = n + a
unde n este un intreg iar a este un numar real in intervalul [0,1) .

Daca ne amintim repede formulele de formare a produsului dintr-o suma,
ajungem destul de repede la liman:

cos[x] + cos{x}
= cos n + cos a
= 2 cos( (n+a)/2 ) cos( (n-a)/2 )

sin x
= sin(n+a)
= 2 sin( (n+a)/2 ) cos( (n+a)/2 ) .

Ecuatia data se rescrie atunci sub forma

cos(x/2) [ cos( (n-a)/2 ) - sin( (n+a)/2 ) ] = 0

Deci in primul rand ecuatia data are solutiile ecuatiei cos(x/2) = 0 .
Partea asta este clara.

Mai vin solutiile si numai solutiile ecuatiei
sin( (pi-n+a)/2 ) - sin( (n+a)/2 ) = 0

Din nou spargem afacerea in produs si trebuie sa aranjam :
2 cos( pi/4 + a/2 ) sin( pi/4-n/2 ) = 0

Factorul cu cos nu se poate anula, argumentul se plimba intre pi/4 si pi/4+1/2 < pi/2
.
Sinusul din ultimul factor nu se poate anula, deoarece pi nu este rational.

[Citat] VIII.325. Aflati numerele naturale consecutive a,b,c,d stiind ca (a+b+c+d)^2 = a^3+b^3+c^3+d^3 .

Avem prea multe litere. Inlocuim
b = a+1
c = a+2
d = a+3

si avem o ecuatie mai simpla dupa calcule simple:

(4a+6)^2 = a^3+b^3+c^3+d^3 , i.e.

16a^2 + 48a + 36 = 4a^3 + 18a^2 + 42a + 36

Termenul liber se simplifica. Ducem totul pe dreapta. Impartim la 2.
Ne alegem cu

0 = 2a^3 + a^2 - 3a , i.e.
0 = a(a-1)(2a+3)

Singurele radacini naturale sunt a=0 si a=1.

Sa verificam:
(0+1+2+3)^2 = 6^2 = 36,
0^3+1^3+2^3+3^3 = 0+1+8+27 = 36
si
(1+2+3+4)^2 = 10^2 = 100,
1^3+2^3+3^3+4^3 = 1+8+27+64 = 100 .

[Citat] O.V.279. Alina si Bianca au impreuna tot atatea mere cate are si Cristina.Alina si Cristina au impreuna de doua ori mai multe mere decat Bianca.De cate ori e mai mare numarul de mere pe care le au impreuna Bianca si Cristina decat numarul de mere al Alinei?

Notam cu a,b,c numarul de mere pe care le poseda A. , B. si respectiv C.
Scriem ecuatii...

a+b = c
a+c = 2b

Ne scapam de litera c in a doua ecuatie, dam de
a+(a+b) = 2b, i.e.
2a+b = 2b, i.e.
b = 2a.

Revenim la c,
c = a+b = a+2a = 3a .

Am exprimat totul in functie de a.
Bianca si Cristina au deci impreuna 2a+3a = 5a,
de cinci ori mai multe mere decat Alina.

[Citat] O.VII.289. Fie S suma divizorilor naturali ai numarului n^n. Aflati restul impartirii lui S la n in cazurile: (a) n=6 (b) n=15

O sa rezolv numai primul caz.
N = 6^6 se scrie descompus in factori primi sub forma

N = 6^6 = 2^6 . 3^6

Un divizor al lui N este de forma
2^a . 3^b
unde a si b se plimba independent in multimea {0,1,2,3,4,5,6} .
Suma divizorilor este suma acestor (6+1)(6+1) = 7.7 = 49 de numere.
Scriind aceasta suma, se vede ca o putem scrie ca produs al numerelor

( 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 )
( 3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 ) .

Daca intr-o directie este poate mai greu sa intelegem de ce,
in cealalta e poate mai usor. Desfacem pur si simplu in produsul de mai sus parantezele inmultind "fiecare cu fiecare" .

Ramane sa calculam cele doua sume.
Prima este (2^7-1) / (2-1) = 127 .
A doua este (3^7-1) / (3-1) = 2186/2 = 1093 .
Produsul este 127 . 1093 = 138811 .

Sa verificam cu computerul (Folosesc sage.)

sage: N = 6^6
sage: sum( N.divisors() )
138811