|
|
|
|
iBac = materialul ULTRACOMPLET de pregătire pentru bac la mate. Dacă vrei poţi.
|
|
 |
|
 |
[1]
| Autor |
Mesaj |
|
|
se considera sirul a1=6, a2=1, a3= 0, a4=5,..., iar pt n mai mare sau egal cu 5, an se defineste ca fiind ultima cifra a sumei celor 4 termeni precedenti. Astfel,prin concatenate, sirul devine 61052850...
aratati ca secventa 2012 este in sir. As fi foarte recunoscatoare celui care va rezolva problema. Imi tot da dureri de cap de o saptamna. Nu exagerez, dar am avut un cosmar...
|
|
|
?irul este evident periodic (num?rul secven?elor de 4 cifre este finit). Atunci secven?a 6105 va ap?rea din nou. Hai s? vedem care sunt cifrele precedente...
6105
86105
586105
2586105
12586105
012586105
2012586105
Bingo!
2012586105
|
|
|
multimesc mult. stiu ca nu prea conteaza, dar inseamna mult pt mine. a fost o problema care mi a dat cosmaruri. nu exagerez 
|
|
|
[Citat]
multimesc mult. stiu ca nu prea conteaza
|
S? ?ti?i c?, de fapt, conteaz?
|
|
|
[Citat]
Se considera sirul definit recursiv prin
a0=6,
a1=1,
a2=0,
a3=5,
iar pentru n mai mare sau egal cu 4,
an se defineste ca fiind ultima cifra a sumei celor 4 termeni precedenti.
Astfel, prin concatenate, sirul devine 61052850...
Aratati ca secventa 2012 este in sir. |
Multumesc pentru postare in primul rand. Poate ca nu conteaza, dar cred ca asa postarea urmatoare vine fara retineri.
Problema este rezolvata, "trucul" era de natura psihologica, plecam de la ideea ca autorul vrea sa ne puna cat se poate de mult la incercare nervii de a "calcula inainte" cifra dupa cifra. Problema e pusa in speranta ca noi chiar calculam cu mana cifrele, ajungem chiar pana la sfarsit si atunci ii dorim autorului multa sanatate si viata lunga. Desigur ca mizand pe aceasta psihologie, primele incercari trebuie sa calculeza cateva cifre mai intai inapoi, apoi inainte. (Este oridnea pe care as prefera-o intr-un concurs.)
Acasa desigur ca am computerul pe de o parte si timp de analiza a problemei in general pe de alta parte. Iata solutia cu computerul. (Este motivul pentru care doresc sa incurajez elevii de azi sa combine matematica cu puterea de calcul - mai ales in cazul in care avem o problema "cu deznodamant finit" ca al noi.)
Computerul imi calculeaza urmatorul sir, pana dam de periodicitate:
(Code sage, usor de rescris incat sa intre in python. Este limbajul cel mai didactic. Nu veti vedea decat cod usor de descifrat.)
(Cod sage)
def numarCuCifrele( listaCifre ):
n = len( listaCifre )
return sum( [ listaCifre[k]*10^(n-k-1) for k in range(n) ] )
a = [ 0 for k in [ 0..10^4 ] ] # am initializat un vector cu 10000 de 0-uri.
a[0] = 6
a[1] = 1
a[2] = 0
a[3] = 5
amGasit = False # inca n-am dat de 2012
for k in [ 4..10^4 ]:
a[k] = sum( [ a[k-j] for j in [1,2,3,4] ] ) % 10
numar = numarCuCifrele( [ a[k-3], a[k-2], a[k-1], a[k] ] )
if numar == 2012 :
print "+ + + 2012 se afla pe pozitiile %d, %d, %d, %d + + + " % ( k-3, k-2, k-1, k )
amGasit = True
if numar == 6105 :
print "k=%d :: ciclul se inchide, perioada este %d" % ( k, k-3 )
break
print "Cifrele sirului pana la repetare sunt:\n%s" % ( ''.join( [ str(a[j]) for j in range(k+1) ] ) )
Obtin:
+ + + 2012 se afla pe pozitiile 1554, 1555, 1556, 1557 + + +
k=1563 :: ciclul se inchide, perioada este 1560
Cifrele sirului pana la repetare sunt:
610528505881290234984563829214634704565067812890964987825276
058924387207658654380569005498670142747089412632342107085036
436920787241410618504767441656854302945087050274360321621092
236346921801090098748765641678230384507681278858902901225096
050162985463818076148923263458070524129685878814140947001898
614904701203610078500381245234434568329269634254560567867890
414982325221058474382707603654830564505443670692742589467632
892102585081436470782741465618054762941601854852940587005274
810326121047236896926301045098298760141623230834502181223858
452906725041050612980963863076698928763403070074124185823814
690942501843614454706703665078050386745289434018324769689254
010562367845414432320721003474832702103609830014500943625692
292584967687892652580581481470232746965663054212946101809852
490582505229810876126547281896476306545043298210146123285834
052186723803452456720541005612430968363021698478768903025074
674180323869690492506343669454256708165023050836740789489018
874764189209010012362345469432870726503429832252108109885014
050948125647292034962187847652030586981425232296960163009212
496106309807490032500729865876676542781841476856540543243210
696128785889052636728303407456270546505667430418368521643478
218908525029674630328369645492056348169409256258160523005836
290784989063874214184709065012812340969487870276508929887252
658104385069050498120147247034412182347607030036986925287296
410168509267496656304307445032050724365821676092786341421856
090548743265696678780389007636278308907401270096500167485418
8185261434232184585205296296308783641454470568981649092012586105
(Mai sus am rupt cu mana concatenarea in bucati de 60 de cifre. Pe la sfarsit se afla si 2012.)
Si acum incepe de fapt nota sper didactica, poate ajuta data viitoare.
Daca cineva ne-ar fi dat 0123 in loc de 6105, am fi avut "aceeasi" problema, dar o situatie mult mai complicata. Ce putem face in acest caz? Schitez o prima posibilitate, eventual mai revin... In primul rand, faptul ca "nimerim" cifrele 2,0,1,2 modulo 10 este echivalent cu faptul ca
- "nimerim" 0,0,1,0 modulo 2 SI in acelasi timp
- "nimerim" 1,1,0,0 modulo 5 .
Profit de faptul ca am rezolvat problema, stim ca perioada este 1560.
Perioada modulo 2 este 5, usor de calculat, deoarece de la datele de plecare 6105 asociem modulo 2 sirul ce pleaca de la 0101 si continua modulo 2:
01010 01010 01010 ...
Putem spera ca perioada modulo 5 este mai mica, da, este cazul, perioada modulo 5 este 1560 / 5 = 312. Este un numar destul de mare, dar daca nu avem alta sansa poate ca cineva ar incerca sa calculeze sirul modulo 5...
110023000331240234434013
324214134204010012312340
414432320221003424332202
103104330014000443120142
242034412132342102030031
431420232241410113004212
441101304302440032000224
310321121042231341421301
040043243210141123230334
002131223303402401220041
000112430413313021143423
213403020024124130323314
1404420013431144042012031100
---
df (gauss)
| [1]
|
Legendă:
|
 Access general
|
 Conţine mesaje necitite
|
47559 membri,
58582 mesaje.
|
|
|
|
 |
|
 |
© 2007, 2008, 2009, 2010 Pro-Didactica.ρ
|
