Stiu ca este inf*0, asa ca ma gandeam la Stolz Cesaro cazul 0/0, dar nu prea merge. Cu calculatorul ajung la 1/2. Imi cer scuze pentru numarul de probleme la care v-am solicitat ajutorul. Multumesc.

Multumesc.

Nu mai este nevoie sa rezolvam nimic, totusi doresc sa mentionez o legatura importanta. Sa zicem ca p este un numar natural. Atunci polinoamele Bernoulli ne spun care este asimptotica in care intram in problema de mai sus.

Pe

http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number#Sum_of_powers si
http://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber's_formula

http://www.math.rutgers.edu/~erowland/sumsofpowers.html#sectionII doar putin mai sus se vad coeficientii 1/(p+1) si 1/2 si urmatorii...
http://www.trans4mind.com/personal_development/mathematics/series/sumsBernoulliNumbers.htm cu un exemplu al calcului "umbral".

Se vede sper ca acel 1/2 este coeficientul Bernoulli B1. (Exista mai multe conventii, din pacate, la unii este -1/2, iar indicii lui B sunt 1,2,3 sau 2,4,6,... Cer scuze, sunt prea multe conventii. In fine.)

In Romania, politica olimpiadelor si concentrarea pe inductie si combinatorica in prea multi ani au adus aceasta legatura importanta la o pozitie marginala. Sper ca am putut sensibiliza putin analistii si in directia teoriei numerelor.

Mai inserez cateva linii ca sa trezesc curiozitatea.
Pe http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html sunt amintite intr-o salata mai lunga cateva formule pentru functia zeta a lui Riemann. Sa ne uitam la (63), (64), (65), (66) mai cu multa atentie.

Ce are problema noastra de a face cu functia zeta a lui Riemann?
Sa ne uitam la

In primul rand la noi puterea nu este -2, negativa, ci pozitiva, 1 de exemplu.
Iar suma se opreste undeva, nu se duce la infinit.

Insa in rest totul este "la fel". Functia zeta (continuata meromorf pe tot planul complex) ofera un dispozitiv analitic de a regulariza / prelungi calculul lui zeta(2), zeta(4), ... (cunoscut lui Euler deja, el a dat de puteri corespunzatoare ale lui pi...) la cel pentru zeta(-1), zeta(-3), ... iar daca ne uitam la suma de mai sus cu un p>0 in locul lui -2...
Bine, este clar ca trebuie sa intelegem mai bine aparatul "regularizarii".

Si de ce este functia zeta asa de importanta?
Si ce au de-a face valorile coeficientilor polinoamelor Bernoulli cu aritmetica? Rog a se citi doar:

http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/Fermat's_last_theorem.html aici rog a se cauta Bernoulli, in propozitia respectiva se pomeneste un rezultat puternic al lui Kummer, anume demonstratia teoremei mari a lui Fermat pentru cazul unui puteri prime "p" regulate ce apare in ecuatie, definitia unui prim regulat fiind prin faptul ca p nu divide numaratorii primelor cateva numere Bernoulli de ordin 2,4,...,p-3.
Asta in conventia de notatie de acolo. In gp/pari, indicii sunt "pe jumatate". Cel mai mic numar neregulat (in sensul de dupa Kummer) este 37.
Iata de ce:

(21:23) gp > bv = bernvec(17)
%17 = [1, 1/6, -1/30, 1/42, -1/30, 5/66, -691/2730, 7/6, -3617/510, 43867/798, -174611/330, 854513/138, -236364091/2730, 8553103/6, -23749461029/870, 8615841276005/14322, -7709321041217/510, 2577687858367/6]
(21:23) gp > for( k=1,18, b=bv[k]; n=numerator(b); print( k, " ", b, " cu numaratorul ", n, " . Luat mod 37 dam de ", n%37, " " ); )
1 1 cu numaratorul 1 . Luat mod 37 dam de 1
2 1/6 cu numaratorul 1 . Luat mod 37 dam de 1
3 -1/30 cu numaratorul -1 . Luat mod 37 dam de 36
4 1/42 cu numaratorul 1 . Luat mod 37 dam de 1
5 -1/30 cu numaratorul -1 . Luat mod 37 dam de 36
6 5/66 cu numaratorul 5 . Luat mod 37 dam de 5
7 -691/2730 cu numaratorul -691 . Luat mod 37 dam de 12
8 7/6 cu numaratorul 7 . Luat mod 37 dam de 7
9 -3617/510 cu numaratorul -3617 . Luat mod 37 dam de 9
10 43867/798 cu numaratorul 43867 . Luat mod 37 dam de 22
11 -174611/330 cu numaratorul -174611 . Luat mod 37 dam de 29
12 854513/138 cu numaratorul 854513 . Luat mod 37 dam de 35
13 -236364091/2730 cu numaratorul -236364091 . Luat mod 37 dam de 12
14 8553103/6 cu numaratorul 8553103 . Luat mod 37 dam de 35
15 -23749461029/870 cu numaratorul -23749461029 . Luat mod 37 dam de 33
16 8615841276005/14322 cu numaratorul 8615841276005 . Luat mod 37 dam de 6
17 -7709321041217/510 cu numaratorul -7709321041217 . Luat mod 37 dam de 0
18 2577687858367/6 cu numaratorul 2577687858367 . Luat mod 37 dam de 12

Modern, fenomenul de mai sus a fost distilat si redistilat, acum stim ca trebuie (poate) sa ne legam de anumite grupuri K-teoretice... Iata doar un mic fenomen legat de primul numar prim "mare" ce apare in numaratorul unui numar Bernoulli, anume 691:
http://www.raco.cat/index.php/PublicacionsMatematiques/article/viewFile/37975/40351
Rog a se deschide documentul pdf, a se cauta toate aparitiile lui 691 si a se inchide pentru cativa ani...