Pe multimea Z a numerelor intregi se defineste legea de compozitie x*y=2xy-3x-3y+6.Daca p este numarul elementelor simetrizaile in raport cu legea * atunci p este?

[Citat] Pe multimea ZZ a numerelor intregi se defineste legea de compozitie x*y = 2xy-3x-3y+6 , x,y, in ZZ . Sa se decida daca structura ( ZZ, * ) admite un element neutru. Daca da: Cate elemente sunt simetrizabile in structura ( ZZ, * )?

Cautam elementul neutru e. (Daca exista.)
El satisface:
Pentru orice x intreg are loc x*e = x, i.e.

2xe -3e -3x +6 = x .

Cele de mai sus au loc in particular si pentru x=0, deci singura sansa este cu
e = 2 . Intr-adevar, 2 esteelement neutru deoarece pentru orice x intreg

2*x = x*2 = 2(2.x)-3x-3.2+6 = 4x-3x -6+6 = x .

Cautam acum elementele x (din ZZ) pentru care exista y (din ZZ) cu
x*y = 2 .

Ecuatia de mai sus se scrie

2xy - 3x - 3y + 6 = 2 , deci echivalent
2xy - 3x - 3y + 4 = 0 , deci echivalent
4xy - 6x - 6y + 8 = 0 , deci echivalent
4xy - 6x - 6y + 9 = 1 , deci echivalent
(2x-3)(2y-3) = 1 .

Deoarece singurele elemente inversabile din ZZ cu inmultirea obisnuita sunt +1 si -1, cele de mai sus au o sansa doar daca atat 2x-3 cat si 2y-3 sunt intre aceste valori.

Deci exista doua valori pentru x care intra in discutie (care au sansa sa fie inversabile), cele cu
2x-3 = +1 respectiv
2x-3 = -1 .

Deci x=2 resp. x=1.
Sa aratam ca aceste elemente chiar sunt simetrizabile:

Cu 2 nu avem probleme: 2*2 = e*e = e = 2, 2 este propriul invers.
Mai calculam 1*1 = 2.1.1 -3.1 -3.1 +6 = 2-3-3+6 = 2 = e, deci 1 este propriul invers.

Tema de casa (care se desprinde din cele de mai sus):
Sa se arate ca aplicatia

( ZZ , * ) -> ( multimea intregilor impari, inmultirea . obisnuita )
x -> 2x-3

este un izomorfism de structuri algebrice.
In particular ( ZZ, * ) este un semigrup abelian cu 2 elemente inversabile ce corespund elementelor +1 si -1 inversabile pe ( intregi impari, . )

schita:


Izolarea unui astfel de izomorfism inseamna intelegerea structurii algebrice.
Verificarea birocratica a axiomelor este partea insipida a algebrei.
(Totusi, cine "inventeaza" o structura algebrica noua care surprinde un fenomen important in esenta lui, are de verificat inteligent axiomele. La noi, "folosim operatiile banale" fara a intelege de ce si cum. Intelegerea vine doar daca separam lumea lui * de cea a lui . ... )