Daca multimea {x?R|x²+2mx+4=0}U{x?R|x²-4x+m²=0}are doua elemente si m?R,atunci m?

O sa notez cu

discriminantul primei ecuatii si cu

dicriminantul celei de-a doua ecuatii. Reuniunea de multimi are doua elemente in urmatoarele cazuri:

I: Prima multime are doua elemente, iar a doua niciunul. In acest caz

, iar

, deci

si

. Se obtine

II: Fiecare multime are cate un element, deci

.

III: Prima multime nu are niciun element, iar a doua are un element. Deci

si

, deci

.

In concluzie pentru

, multimea respectiva are doua elemente.

O simulare a problemei aici: http://bphasdeu.ro/catedre/fisiere/13.html

multumesc,dar nu este R\{-2}?

Adunarea de 2 elemente in reuniune si spargerea pe cazurile
(a) 2 = 2+0
(b) 2 = 1+1
(c) 2 = 0+2
din prima argumentare este corecta daca avem grija ca cele doua multimi sa fie disjuncte.
In ce caz(uri) nu sunt disjuncte?

Cand ambele ecuatii au o solutie comuna.
E clar ca pe partea cu 2+zero sau zero+2 nu avem probleme. Ramane de verificat cum stau lucrurile pentru cazul (b) mai indeaproape calculand multimile.

Alternativ:
Daca avem o radacina comuna...
scazand cele doua ecuatii obtinem
2(m+2) x - (m+2)(m-2) = 0 .

Este clar ca daca m=-2 avem o radacina comuna. (Una din ecuatii se obtine din cealalta prin adunarea unui zero.) Deci -2 nu convine.
Daca m=2 si ne uitam indeaproape...

Conditia

impune automat ca radacinile sunt distincte in primul si al treilea caz. Am uitat sa verific in al doilea caz aceasta posibilitate.