Din betisoare cu lungimea de 6 cm, lipite la ambele capete, un copil obtine "scheletul" unui tetraedu regulat VABC. Dupa ce marcheaza mijloacele muchiilor VA, VB, BC, si CA, cu M, N, P si Q, le uneste tot cu niste betisoare.
a) Ce fel de patrulater este cel cu varfurile in M, N, P si Q?
b) Care este masura unghiului pe care il formeaza betisoarele MP si NQ?
c) In final isi propune sa acopere cu hartie toate fetele tetraedului. Care este suprafata de hartie necesara pentru aceasta operatiune? Aproximati prin adaos la intreg.

[Citat] Din betisoare cu lungimea de 6 cm, lipite la ambele capete, un copil obtine "scheletul" unui tetraedu regulat VABC. Dupa ce marcheaza mijloacele muchiilor VA, VB, CB si CA cu M, N, P si Q, le uneste tot cu niste betisoare. (a) Ce fel de patrulater este cel cu varfurile in M, N, P si Q? (b) Care este masura unghiului pe care il formeaza betisoarele MP si NQ? (c) In final isi propune sa acopere cu hartie toate fetele tetraedului. Care este suprafata de hartie necesara pentru aceasta operatiune? Aproximati prin adaos la intreg.

(a)
In triunghiul VAB segmenul MN e linie mijlocie, deci MN || AB si MN "are " 3cm.
In triunghiul CAB segmenul QP e linie mijlocie, deci QP || AB si QP "are " 3cm.

Chiar daca este in parte de prisos (pentru telul problemei) este bine (didactic) sa mentionam si:

In triunghiul BVC segmenul NP e linie mijlocie, deci NP || VC si NP "are " 3cm.
In triunghiul AVC segmenul MQ e linie mijlocie, deci MQ || VC si MQ "are " 3cm.

Pana aici am dedus ca MNPQ este un romb cu latura de 3cm,
daca tot suntem aici, stim ca diagonalele lui MP si NQ sunt perpendiculare, ceea ce ne rezolva (b).

Nota: Cum este pusa problema, raspunsul "MNPQ este paralelogram" trebuie sa primeasca toate punctele. Este un raspuns corect iar intrebarea nu vrea nimic specific. Pentru a evita astfel de cazuri bazate pe modul meu minimalist de raspuns la intrebari neclare, profesorul meu de liceu intreba de la o vreme mai specific:

Care dintre afirmatiile urmatoare sunt adevarate si care nu?
MNPQ este paralelogram.
MNPQ este trapez.
MNPQ este romb.
MNPQ este dreptunghi.
MNPQ este patrat.

(Aceasta este o informatie didactica pentru cei ce propun probleme in general.)

Ei bine, daca asa este pusa problema, mai trebuie sa arat ca doua laturi la alegerea mea din MNPQ sunt perpendiculare.
Echivalent, ajunge sa arat ca dreapta VC este perpendiculara pe AB.
(Ce este unghiul dintre doua drepte in spatiu?)
Construiesc constelatia de aplicare a teoremei celor 3 perpendiculare...
Fie O proiectia lui V pe planul ABC.
Se stie ca O este centrul (de greutate, al intersectiei inaltimilor, ... al) lui ABC.
Deoarece VO _|_ (planul ABC) si CO (parte din inaltime) _|_ AB,
rezulta ca VC _|_ AB .

Deci MNPQ este patrat. Deci toate afirmatiile de mai sus sunt adevarate.

(b) MNPQ este romb (chiar patrat), deci are diagonale perpendiculare, deci masura caruta a unghiului dintre ele este de 90 de grade.

(c) Aria laterala a tetraedrului cu latura (muchia) a este

(Se mai poate simplifica, dar in era in care putem cere totul computerului...)
Ramane sa mai facem calcule...

(21:02) gp > a = 6
%3 = 6
(21:02) gp > 4 * a^2*sqrt(3) / 4
%4 = 62.35382907247958256698806829
(21:03) gp >


Multumesc, cer scuze... am (re)editat!

Aria totala a tetraedrului este

.

Dupa simplificarea cu patru, ramane sa inmultim

Se stie ( la scoala ) ca