Va rog putin ajutor pentru urmatoarea problema:

In triunghiul ABC, M este mijlocul medianei AD.
Daca BM intersecteaza AC in N si CM intersecteaza AB in P, demonstrati ca:
1. PN paralel cu BC
2. PN=BC/3

Multumesc.

Trebuie sa alerg la tren. Revin cand ajung. O intrebare doar:

Daca aplicam ceva acolo (nu e Ceva desigur...)
pentru triunghiul ADC cu "secanta" BMN ce produs de fractii are valoarea 1 ?

La fel pentru ADB cu CMP...


http://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Menelaus
http://hu.wikipedia.org/wiki/Menelaosz-tétel
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Menelaos
http://en.wikipedia.org/wiki/Menelaus'_theorem
http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Ménélaüs
[url]http://ru.wikipedia.org/wiki/???????_???????
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Menelao
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Menelao
[url]http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%9E%D7%A0%D7%9C%D7%90%D7%95%D7%A1

Sper ca e clar in ce limbi se poate lucra in matematica...

Zicem asa:
a)In

aplic teorema lui Ceva:

si cum

,vom avea

de unde rezulta conform reciprocei teoremei lui Thales ca

.
b)In

avem cu (T.F.A)

adica

(1).
Apoi in

cu transversala

aplic teorema lui Menelaus:

si cum

obtinem

adica

(2)
Din (1) si (2) avem ca

.

Va multumesc de sfaturi. Acum am inteles de ce nu imi dadeam seama de rezolvare. Nu am invatat inca niciuna din cele 2 teoreme. Exista si un alt mod de rezolvare?

[Citat] In triunghiul ABC, M este mijlocul medianei AD. Daca BM intersecteaza AC in N si CM intersecteaza AB in P, demonstrati ca: 1. PN paralel cu BC 2. PN = BC/3

Desigur ca se poate...
O sa ma uit doar la o parte din figura, ca sa fie lucrurile mai clare.
Mi-e greu sa desenez aici, sper ca "poza" ASCII e destul de sugestiva.

Nu am sanse mai bune de desenat...
Am luat X a fi mijlocul lui NC (prin constructie), deci NX = XC.

DX este linie mijlocie in CBM.
Deci DX || MN .

M este mijlocul lui AD si MN || DX,
deci MN este linia mijlocie in ADX,
deci AN = NX.

Deci AN = NX = XC .
Am dedus AN : AC = 1:3 .

La fel (prin simetrie, prin renotare sau in cel mai rau caz prin considerarea unui Y mijloc de PB) rezulta
AP : AB = 1:3 .

Prin reciproca teoremei lui Thales rezulta PN || BC.
Triunghiurile
APN si
ABC
sunt deci asemenea cu raportul de asemanare AN:AC = AP:AB = 1:3,
deci si PN:BC = 1:3 .

Uploaded with ImageShack.us