Problem? interesant?: dac? n este un num?r natural nenul ?i p un num?r prim atunci câte elemente are grupul matricilor p?tratice inversabile de ordinul n cu elemente din Z(p). Bineîn?eles c? opera?ia este înmul?irea uzual? a matricelor.
Aceea?i problem? dac? renun??m la condi?ia ca p s? fie prim.

Ideea mi-a venit din tentativa de a generaliza Mica Teorema a lui Fermat care spune ca daca p este un numar prim si a este un element nenul din Z(p) atunci
a^(p-1)=1 (in Z(p))
Cazul n=1 este evident legat de demonstratia mtf cu ajutorul grupului multiplicativ al elementelor nenule din Z(p).
Ideea de a renunta la conditia ca p sa fie prim merge mana in mana cu o tentativa de generalizare a Teoremei lui Euler (legata de cazul n=1 cu p nu neaparat prim)

Inainte de toate, pentru a starni curiozitate, iata "un" link:
http://mathworld.wolfram.com/q-BinomialCoefficient.html
http://mathworld.wolfram.com/q-Factorial.html
Ce avem noi de-a face cu asa ceva? Hmm...

Problema este o problema standard de teoria spatiilor vectoriale peste corpuri finite. O sa incerc sa o enunt incat sa fie accesibila si la clasa a XI-a.

In primul rand fixam un corp finit IF(q) cu q elemente.
(Daca avem un corp infinit, avem si o infinitate de matrici inversabile...)

Se stie ca q este putere de numar prim.
Dar pentru scoala sa zicem ca avem q=p numar prim. Corpul IF(q) este inelul de [intregi modulo p] cu operatiile mostenite de pe ZZ.

Fixam n si ne uitam la inelul de matrici nxn cu intrari in IF(q):
M( n,n; IF(q) ) .

Fie A o matrice inversabila din acest inel.
Ne uitam la vectorii ei coloana.

Se stie -daca stim ce este dimensiunea-
ca vectorii coloana formeaza o baza,
echivalent un sistem liniar independent (maximal) cu n vectori.
Cu alte cuvinte NU exista scrieri de combinatii liniare netriviale ale unui vector in functie de ceilalti. (Si nici un vector nu este nul, daca folosesc definitia prin cuvantul "scriere" si nu stiu ce este suma peste multimea vida...)

Incercam sa construim un astfel de sistem bucata cu bucata.
Si numaram in acelasi timp.

(1) Cate sanse (posibilitati) avem de alegere a primului vector?
Ele are n componente, deci q^n - 1 .
Am exclus vectorul nul.

(2) Cate sanse (posibilitati) avem de alegere a celui de-al doilea vector coloana in A?
Ele are n componente, deci q^n - q .
Am exclus toti vectorii care se pot scrie drept combinatie liniara de primul vector. Practic avem un coeficient din corp la dispozitie, iar acesta are q sanse de a fi ales. Le scadem.

(3) Cate sanse (posibilitati) avem de alegere a celui de-al treilea vector coloana in A?
Ele are n componente, deci q^n - q^2 .
Am exclus toti vectorii care se pot scrie drept combinatie liniara de primii doi vectori. Practic avem doi coeficienti din corp la dispozitie pentru a forma combinatii liniare, deci q sanse de a alege combinatii liniare de evitat... Scadem deci q^2.

Procedem asa mai departe pana la ultimul vector de ales.
dam de

Nota:
Cred ca este clar cum se poate "generaliza" n la un q-coeficient n.
A se vedea link-ul de mai sus.

Apar rezultate neasteptate in care combinatorica devine (se generalizeaza la) o q-combinatorica. De exemplu... Grupul simetric (de permutari) de S(n) si grupul de matrici inversabile (patrate) M(k,F(q)) actioneaza pe inelul de matrici
M( k,n; IF(q) )
anume asa:

Cu o matrice inversabila kxk putem inmulti din stanga o matrice kxn .
Cu o permutare din S(n) putem permuta cele n coloane.

Cele doua actiuni "comuta".
Excelent.

Se stie ca orice actiune (reprezentare) a unui grup finit (sau mai general compact) se sparge in actiuni (reprezentari) ireductibile. Din cauza comutarii de mai sus apar un fel de "pachete". Reprezentarile ireductibile dau atunci informatie esentiala asupra unui grup sau altuia.
Ele sunt clasificate...

Ei bine, exista o deformare a grupului de matrici. Sunt asa-zisele grupuri cuantice. Teoria reprezentarii lor este neasteptat de bogata in rezultate de "combinatorica". Prefer sa ii invat pe elevi si studenti asa ceva mult mai mult decat cine stie ce calcul "Nabla-Nable-Umple-Tabla" (desertul orelor mele de la facultate...) si mult mai mult decat cine stie ce rezultate arbitrare legate de o ecuatie diofantiana ciudata.
De ce? Deoarece este structura si deoarece este in centrul cercetarii. Elevii si studentii au deodata sansa sa "darame ziduri". Ei au de obicei maturitatea matematica, le lipseste accesul la cercetare. In plus, multii programatori de parcurgere de arbori de la stanga la dreapta si de sus in jos vor avea in sfarsit ceva mai simplu si mai util de programat. (Presupun ca ei inteleg obiectele matematice, ce-i drept complicate. Dar programarea este simpla. Daca unul din elevi gaseste experimental cine stie ce coincidenta si o publica cu 18 sau 25 de ani este asigurat pe viata...)

Daca cineva vrea sa stie mai mult, sa intrebe...
Doar de curiozitate:
http://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory
http://en.wikipedia.org/wiki/Young_tableau
http://en.wikipedia.org/wiki/Robinson-Schensted_correspondence (Cele doua carti din literatura anexata, Fulton resp. Sagan sunt delectare pura...)
http://mathworld.wolfram.com/YoungTableau.html
http://www.ctex.org/documents/packages/math/youngtab.pdf
www.math.uiuc.edu/~ayong/whatisYT.ps
http://www.combinatorics.org/Volume_18/PDF/v18i1p18.pdf

Probabil ca m-am indepartat, dar va rog sa ma credeti, este exact locul in care intrebarea pusa este punctul de inceput.

Au elevii si studentii maturitate matematica, sa fim seriosi!!
Ar trebui sa mai mergeti pe la niste ore de matematica in niste licee actuale.
Dvs credeti ca toti elevii sunt la fel cum erati dumneavoastra.
Pffff, unora(multora, de fapt) le e greu si sa rezolve ecuatii de gradul 2.
Este 1 elev/clasa, si asta poate in cateva licee, capabil de ce credeti dumneavoastra ca e o caracteristica a unei intregi mase de elevi.
Daca ati merge sa predati 1 saptamana intr-un liceu, fie el si colegiu national, ati cam avea un soc.
De studentii de la matematica nu spun nimic, uneori sunt mai slabi si ca elevii.

[Citat] Au elevii si studentii maturitate matematica...? ... De studentii de la matematica nu spun nimic, uneori sunt mai slabi si ca elevii.

Stiu... Elevii si studentii sunt in lupta dialectica continua pentru locul echilibrat de entropie minima intr-un spatiu minim de cunostinte.

Totusi, bataia din matematica este accesibila oricarei eleve si oricarui elev care se decide sa acumuleze cu un anumit tel cunostinte, cu conditia ca cineva sa le spuna la timp in ce directie e telul. Sunt optimist in acest sens, sunt cunoscute cateva discutii in care se baga in noroi situatia poeziei din Romania -cu toti agramatii si inexplicabilii care nu stiu sa scrie cu creta pe tablitza- iar Eminescu era in sala... Daca cineva vrea o mica indicatie sau corectura de directie, stie macar unde sa scrie.

(Eu la vremea mea nu am avut unde sa scriu, nu existau nici ziare, nici calculatoare, nici macar masini de batut cu exceptia birourilor de dactilografiere de pe langa militia care era astfel nevoita sa bata manual.)

Iar discutia despre cunoastere sau cercetare vine pe forum, da, este libertatea pe care mi-am dorit-o mereu. In majoritatea facultatilor astfel de discutii vin pe "pile" si servicii / contraservicii. (Programeaza-mi tu clasele de conjugare in grupul Weil de tip E8 si iti spun eu care este structura grupului reductiv...) Eu incerc printre altele sa evit acest fenomen in mod activ, nu sa iau pulsul bolnavului la pat in mod pasiv.

In plus, cel ce a initiat discutia este unul dintre oamenii de incredere "din sala"...

Eu prind repede incredere, mai ales cand vad oameni cu tenacitate, care scriu, vad, au idei proprii, discuta si continua discutia altora, toate aceste folosind propozitii care traiesc doar in lumea matematica. (Nu in lumea literara de pe langa o lume matematica.)

Sensul dorit al discutiei este de exemplu intelegerea structurii grupului de matrici inversabile peste inelul finit

ZZ / q1 q2 ... qr

unde q1, q2, ... , qr sunt puteri de numere prime...
Doar ca exemplu.