Buna ziua !

As vrea sa gasesc o alta metoda de rezolvare pentru urmatoarea problema(nu doar prin inductie):
Aflati prima zecimala a numarului an =

n apartine multimii numerelor naturale nenule.
Exceptand metodia inductiei in care observam ca a1 si a2 au prima zecimala 5 si apoi demonstram ca pentru n >= 3 numarul an are prima zecimala 6,cum as mai putea rezolva problema?

[Citat] As vrea sa gasesc o alta metoda de rezolvare pentru urmatoarea problema (nu doar prin inductie): Aflati prima zecimala a numarului Exceptand metodia inductiei in care observam ca a1 si a2 au prima zecimala 5 si apoi demonstram ca pentru n >= 3 numarul an are prima zecimala 6, cum as mai putea rezolva problema?

Buna!

Despre o noua metoda nu cred ca poate fi vorba.
Folosind inductia sau nefolosind-o la un moment dat tot trebuie sa facem pasul decisiv. Acesta conteaza.

Din punctul meu de vedere, problema poate fi transata la nivelul povestirii dupa cum urmeaza. (Nivelul este cel al clasei a XII-a. Imi pare rau, daca trebuie sa povestesc usor si sa nu calculez mai nimic...)

In primul rand se vede ca avem de-a face cu un sir strict crescator. Ajunge sa ne dam un n natural si sa calculam pentru el:

Inductia a facut poate deja (in demonstratia presupusa de mine) acelasi calcul.

In al doilea rand este bine sa aratam ca sirul nostru este marginit.
Daca stim de constanta lui Euler-Mascheroni, probabil ca stim si de un sir de care sa ne legam si ocolim integrala ce vine:
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Mascheroni_constant
http://ro.wikipedia.org/wiki/Constanta_Euler-Mascheroni

(Pe astfel de pagini se vede mereu un desen important care pune optic in legatura numerele armonice cu logaritmul...)

Pentru aceasta marginire pomenita, vedem ca

si asa mai departe. Rezulta ca putem compara suma ce calculeaza a(n) cu integrala de la n la 2n din 1/x dupa x.

Aceasta integrala se calculeaza
(dogmatic, deoarece in liceu nu se demonstreaza, ci se afirma ca derivata funcitiei exponentiale este ``tot ea'', iar mai departe in cel mai bun caz de ora de matematica se foloseste legea pentru derivata compusei in ln( exp(x) ) = x pentru a da de formula derivatei logaritmului natural...)
usor, rezultatul este ``cu formule'' imediat, anume

ln( 2n ) - ln(n) = ln(2) ~ 0.6931471805599453094172321215...

Deci dupa ce scapam de pragul lui 6/10 nu ni se mai schimba prima zecimala.