Sa se calculeze

Am aflat A^n cu ajutorul relatiei C-H. Dar calculele mi se par prea grele si nu cred ca aceasta este calea pe care ar trebui sa o urmez. Ma intrebam daca

Multumesc!

Da, desigur (daca k pleaca de la 0 mai sus si puterea A^0 o luam I prin conventie).

Determinantul este un morfism multiplicativ
de la (monoidul de) matrici nxn (peste un corp) cu multiplicarea lor drept operatie
la numere (din acelasi corp comutativ) cu multiplicarea (din corp).
Pe scurt: det(AB) = det(A) det(B) .

Matricea I (matricea unitate nxn) comuta cu orice matrice A din acelasi inel de matrici. Ajunge sa vedem ca

(I-A)( I + A + ... + AA...A ) = I - AA...AA

si sa aplicam determinantul pe ambele parti, apoi multiplicativitatea lui det in stanga.

Multumesc. Da, k trebuia sa mearga de la 0 in intrebarea mea. Dar atunci ar trebui sa tratez separat cazurile in care a=0 si a=2? Asta sa fie calea cea mai simpla?

Am ajuns la

Sper ca e corect.

Cea mai simpla solutie este dupa parerea mea cea ce generalizeaza.
(Simplitatea vine din faptul ca intelegem usor cadrul general in care facem ce facem.)

Rezultatul de mai sus pentru
f = polinomul special din enuntul initial
confirma prin exemplu aceasta formula.
(Mai schimbam ordinea factorilor grupandu-i dupa cum apare a+b resp. a-b in ei, nu dupa grad.)

Tema de casa:
Cum stau lucrurile cu matricea A inlocuita cu cea de forma

a b c
b c a
c a b

sau cu una de dimensiuni nxn cu litere pe prima linie, care se permuta ciclic pe urmatoarele?

N.B. Candva, pe a XI-a am decis pentru mine ca solutia folosind algebra liniara si diagonalizare pentru sirurile recursive liniare este prea complicata si ca ne chinuim mai mult sa le aducem in pozitie. Prea complicat, mi-am spus, inductia ajunge, iar matematica se reduce la a calcula pe drumul cel mai scurt.

In facultate, in anul III, inca aveam aceeasi parere.

In anul IV cel tarziu, dupa ce am inteles cat de bogata este analiza functionala legata de teoria spectrala, am vazut care este adevarata afacere cu schimbarea (ortogonala sau chiar unitara de baza). Este ceea ce avem mai sus.
Vectorii coloana din S fromeaza un sistem ortogonal. Vectorii au ("doi cate doi diferiti") produs scalar nul. Ajunge sa-i renormam (cu unu pe radical din doi) pentru a da de o baza ortonormata. Spargerea de mai sus este o spargere "spectrala", spectrul lui A are valorile proprii a+b si a-b iar calculul functional f(A) se poate face folosindu-i.

Lucrurile par simple si lipsite de "aplicatie". Dar exista numeroase aplicatii in fizica, unde spectrul este... spectru.
In matematica mai sunt inca cativa "nebuni" care cauta o matrice infinita A pentru care un anumit calcul functional (analitic) al lui A sa genereze functia zeta a lui Riemann, cand o alta intelegere a lui A ar demonstra conjectura lui Riemann, ar aduce omului acasa milionul de dolari pus la bataie pentru ea si multele miliarde ce mai vin, daca omul se decide sa faca reclama la bauturi racoritoare... (Asta ca sa pricepem mai bine rolul matematicii in societatea de azi).

Multumesc. Am inteles rezolvarea, dar gasirea matricilor D si S ma depaseste.