Demonstrati ca suma fractiilor ce au numaratorii 1 si numitorii radicalii numerelor naturale nenule mai mici sau egale cu 80 este cuprinsa intre 16 si 17.

Se demonstreaza (usor) ca:

de unde prin insumare de la

la

, rezulta ca:

si particularizam pentru

.

[Citat] Se demonstreaza (usor) ca: de unde prin insumare de la la , rezulta ca: si particularizam pentru .

Eu sunt clasa a IX-a si nu am invatat asa ceva.Mai exista vreo metoda?

Solutia de mai sus e la nivel de clasa a IX-a. Sa o explic mai detaliat:

Pentru orice

, avem:

Inmultim cu

si inegalitatea e echivalenta cu:

evident adevarat. De asemenea:

adevarat. Deci am demonstrat ca:

Cum aceasta inegalitate are loc pentru orice

natural nenul, ea este adevarata pentru

:

pentru

:

...

pentru

:

Adunam toate aceste inegalitati:

Dupa ce reducem termenii si adunam

avem :

Mai ramane doar de aratat ca

si

.

[Citat] Se demonstreaza (usor) ca:

Si anume se demonstreaza usor la nivel de clasa a IX-a dupa ce ridicam de cateva ori la patrat.

Alternativ putem la nivel de clasa a XI-a sa aplicam teorema lui Lagrange pentru functia radical pentru intervalul [ k, k+1 ] .
Ea ne asigura existenta unui c(k) intre k si (k+1) cu

f( k+1 ) - f(k) = f'( c(k) ) ( (k+1)-k ) .

Deoarece f' este monotona dam repede de dubla inegalitate de mai sus.

Mai elevule/elevo, nu te supara, dar la matematica nu trebuie "sa inveti totul la scoala". Avand niste cunostinte, chiar minimale, poti rezolva multe probleme, nu trebuie sa le inveti pe toate la scoala. E chiar putin amuzanta replica ta, si trista, in acelasi timp, si ilustreaza cam unde a ajuns invatamantul...Scopul matematicii e ca elevul sa gandeasca, sa gaseasca cu capul sau solutii la probleme, nu sa invete pe dinafara niste metode. Dar, cand ti se da solutia mura-n gura aproape si tu n-ai nici macar rabdarea s-o parcurgi, si trantesti un sesec "da n-am invatat asa ceva la scoala", ce mai putem cere?!
Ar fi bine ca profesorii astia de matematica sa le explice intai elevilor in ce consta matematica, inainte de a trece la alte chestiuni.
Ca, din cate se pare, multi elevi nu prea inteleg cu ce se mananca matematica, ei cred ca e ca la un alt obiect, sa zicem geografie, unde tot ce ai de facut e sa iei cartea/caietul si sa inveti sau altfel zis tocesti lectia. Iar daca ti se pune o intrebare referitor la un aspect care nu era in caiet, zici ca nu ai invatat asa ceva. Ei bine, la matematica nu e nici pe departe asa, asta trebuie sa priceapa in primul rand elevii. La matematica ai niste cunostinte, adica teoria, care e mult mai redusa fata de alte discipline, iar apoi, folosind aceste cunostinte, si punandu-ti mintea la treaba, poti sa rezolvi un numar foarte mare de probleme.
Ti s-a spus ca se foloseste o anumita inegalitate? Trebuia sa iei frumos o hartie si un pix si sa vezi de unde vine acea inegalitate, cum se poate arata, etc. Dupa cum vezi, din raspunsul detaliat de mai sus, totul se reduce la niste calcule algebrice. Cum n-ai invatat asa ceva la scoala?
Bine, acum asta presupunea si un minim de efort, si doar elevul de azi e cam alergic la asa ceva...

[Citat] [Citat] Se demonstreaza (usor) ca: Si anume se demonstreaza usor la nivel de clasa a IX-a dupa ce ridicam de cateva ori la patrat.

Sau a?a:

Analog ?i cealalt?.