Se considera patratul ABCD, iar M un punct situat in interiorul sau pe laturile patratului.
a)Demonstrati ca

b)Determinati toate punctele M pentru care inegalitatea de mai sus devine egalitate.

Mai intai, care este valoarea maxima pentru MA.MC ?

(Fie M interior. Inaltimea prin M in triunghiul MAC mai taie o latura a patratului. Deci valoarea produsului se mai mareste daca schimbam M-ul cu aceasta intersectie. Daca M este pe laturi putem sa analizam repede monotonia functiei [0,1] -> IR, x -> xx( xx-2x+2 ) sau sa folosim puterea punctului...)

Din pacate nu am reusit sa gasesc solutia problemei...ma puteti ajuta ceva mai mult?.....Multumesc!

Desigur, uneori dau o indicatie, dar o dau mai mult pentru mine.
In astfel de cazuri rog a fi intrebat si intrebat din nou.

Idea de demonstratie este un fel de majorare generoasa.
Folosim urmatoarea proprietate a modulului:

Pentru orice numere reale x,y > 0 modulul diferentei lor,
|x-y|
este mai mic sau egal decat maximul dintre x si y.

La noi:

Desigur ca ajunge sa ne ocupam doar de prima inegalitate.
A doua rezulta
prin simetria patratului,
prin renotare A in loc de B, B in loc de C, ...
sau prin aplicarea aceluiasi rationament.

Cum am spus mai sus, daca M este un punct interior, dar nu pe laturi, atunci ne uitam la triunghiul MAC. Sa zicem ca M este in interiorul triunghiului ABC.
(Fara a restrange generalitatea. Renotam daca nu.)
Ducem din M perpendiculara pe AC, piciorul ei fiind K, sa zicem.
Prelungim acum KM dincolo de M pana taie una din laturi.
Notam cu M' noul punct.
Observam ca MA si MC sunt respectiv mai mici decat M'A si M'C.
Deci si produsul MA.MC este mai mic decat M'A.M'C .

De aceea ajunge sa ne legam de un punct M care este pe laturi.

Sa zicem ca M se afla pe latura BC.
Notam cu x distanta de la M la C.
Fara a restrange generalitatea, patratul are latura de lungime unu.

Atunci ramane sa demonstram ca are loc inegalitatea

Cand are loc egalitatea?
Doar daca mai sus factorul (1-x) se anuleaza. Celalalt factor nu se anuleaza, deoarece x-x^2 este mai mare sau egal cu zero. Deci x este unu in caz de egalitate. Acest lucru corespunde cazului $MC=1$, deci $M=B$.

Punand totul cap la cap, inegalitatea ceruta are loc, iar egalitatea in locul semnului de inegalitate are loc doar daca M est unul din varfurile patratului.

I) M interior.
Fie P si Q proiectiile lui M pe AB, respectiv CD.
Notez PM = x, PA = y.
Fie AB = a, atunci MQ = a-x, QC = a-y.
Cu th. Pitagora in PMA si QMC se determina MA si MC (functie de x, y, a).
Aplic inegalitatea mediilor (geometrica si patratica)pentru majorarea lui MA.MC
Se va tine seama (evident) de: x-a<0, y-a<0.

II)M este pe [AB].
Notez AB = a, MA = x, MB = a-x.
Cu th. Pitagora in BCM se determina MC(functie de x si a).
Aplic inegalitatea mediilor (geometrica si patratica) pentru majorarea lui MA.MC
Se va tine seama de: x-a<0.

III) M este situat intr-un varf al patratului.
Unul din produsele MA.MC, MB.MD este zero, iar relatia din enunt devine egalitate.

Multumesc!