[Citat]
Triunghiul EDA este isoscel, cu unghiul AED de 100 de grade.
Se prelungeste ED cu DC astfel incat
D este intre C si E si
unghiul ACE este de 30 de grade.
Sa se demonstreze ca AD = CE .
|
Cu aceasta reformulare dam imediat de versiunea reciproca a problemei
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=32959
care tot apare intr-o forma sau alta pe la noi.
Demonstratia sintetica a reciprocei poate folosi in mare parte constructia geometrica din linkul de mai sus. (Daca stim de punctele P,Q,M din link am terminat.)
Iata o noua, o alta si o aceeasi solutie sintetica (in notatiile de mai sus):
Construim punctul X astfel incat triunghiul EAX sa fie echilateral.
(X e de aceeasi parte fata de EA cu toate celelalte litere din desen.)
Deci AC este deja bisectoarea lui <(DAX) !
Mai luam M,N pe AD ca mai sus incat sa putem completa lantul de egalitati:
DE = EA = EX =
AX = AM = DN .
Atunci in triunghiul isoscel AME unghiurile sunt de 40, 70, 70 de grade.
Aceleasi unghiuri le are si EDX.
Deoarece laturile ce formeaza unghiul de 40 de grade sunt respectiv egale,
rezulta (folosind si simetria lui M,N fata de...)
DX = EM = EN .
De aici triunghiurile
EDM si
DNX
sunt congruente, LUL, ED=DN, EM=DX, iar unghiul dintre ele este de 30 si 70-40=30. Rezulta
DM = NX , deci NX=NA, deci XNA isoscel, deci unghiul exterior <(XND) este dublul lui <(NAX), deci de 40 de grade.
Rezulta NX || DE .
Translatam atunci triunghiul ANX paralel cu sine insusi astfel incat segmentul AN sa devina DM si obtinem un nou triunghi MDK congruent cu ANX . K se afla pe ED din paralelitatea de mai sus.
Rezulta KM = XA = MA, deci KMA este isoscel, deci unghiul lui din A este jumatate din unghiul exterior <(DMK) = <(NAX), deci AK este bisectoarea lui <(MAX).
Acelasi lucru l-am observat deja pentru AC. (Si C se afla tot pe DE.)
Deci C=K.
De aici:
AD = AM + MD = DE + CD = CE .
Access general
Conţine mesaje necitite
