Demonstrati ca exista infinit de multe numere intregi pozitive n astfel ca pnetru orice numar prim p pentru care p divide n(n+1) sa avem si p^2 divide n(n+1) Determinati atat o valoare para cat si o valoare impara pentru astfel de numere n>8.

Iat? rezolvarea pe care am dat-o

Ecuatia x^2-8y^2=1 are o infinitate de solutii in multimea numerelor naturale.
Pentru orice m natural, daca u=3-2*sqrt(2) si x(m)-y(m)*sqrt(2)=u^m atunci x(m) si y(m) sunt solutii ale ecuatiei. Se arata usor ca aceste solutii sunt distince doua cate doua si prin inductie se arata ca x(m) este impar iar y(m) par.
Lund n=(x(m))^2-1=8*(y(m))^2 se obtin o infinitate de numere pare cu proprietatea din enunt.

Ecuatia x^2-675y^2=1 are o infinitate de solutii natuale. Pentru orice m natural daca
v=26-15*sqrt(3) si x(m)-y(m)*sqrt(3)=v^m rezulta ca
x(m) si y(m) sunt solutii ale ecuatiei Se arata usor ca aceste solutii sunt distince doua cate doua si prin inductie se arata ca x(m) este par iar y(m) impar.
Luand n=(x(m))^2-1=675*(y(m))^2 se obtin o infinitate de numere impare cu proprietatea din enunt.

Mai general, daca d este un numar natural care are in descompunere factori primi cu exponent cel putin 2 iar cel putin unul dintre exponenti este impar plecand de la solutiile naturale ale ecuatiei x^2-dy^2=1 generam o infinitate de numere n cu proprietatea din enunt.

Iata intrebarile pe care mi la-m pus si la care nu am raspuns:
Este oare adevarata si reciproca? Adica orice numar n cu proprietatea din enunt se obtine printr-o astfel de generare sau mai exista si alte numere cu porprietatea din enunt care nu se obtin printr-o astfel de generare ?

Luand k>1 un numar natural si s un rest la impartirea cu k putem gasi o infinitate de numere
naturale cu proprietatea din enunt care sa dea restul s la impartirea cu k ?

Sa spunem si de unde e problema: [url]http://mategl.com/atasamente%20pentru%20site/Stelele%20Matematicii%202011.rar

[Citat] ... Iata intrebarile pe care mi la-m pus si la care nu am raspuns: Este oare adevarata si reciproca? Adica orice numar n cu proprietatea din enunt se obtine printr-o astfel de generare sau mai exista si alte numere cu porprietatea din enunt care nu se obtin printr-o astfel de generare ?

Trebuie sa traduc mai intai intrebarea, incat sa am notatiile pentru raspuns.

Procedeul descris de generare de solutii este urmatorul: