Am si eu o nedumerire,poate o sa ma lamuriti,cu ce anume ar trebuii sa incep pentru a intelege analiza functionala,am auzit ca este cea mai grea parte a analizei matematice,as vrea sa imi dati niste indicii daca se poate,va multumesc mult,si astept niste puncte de reper,va multumesc

Analiza functionala este in principiu "tot analiza de liceu" din punctul de vedere al complexitatii, dar cadrul de desfasurare este ceva mai complicat.

Trebuie intelese mai intai poate spatiile Banach. Avem o norma si completitudine. (Ultimul lucru inseamna ca orice sir Cauchy fata de norma este convergent in spatiul respectiv.) Diferentiabilitatea este primul lucru care se generalizeaza. Odata ce este inteleasa, vedem ca spatiul functiilor liniare de la un spatiu Banach la altul intra natural in peisaj.
Cateva teoreme ce trebuie pricepute sunt Hahn-Banach, teorema functiilor implicite, teorema aplicatiei inverse, etc.
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Hahn%E2%80%93Banach_theorem
http://en.wikipedia.org/wiki/Implicit_function_theorem#Banach_space_version
http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function_theorem

Deja se vede ca functionalele liniare (aplicatii continue de la un spatiu Banach in IR sau ce (corp e luat drept corp de baza)) joaca un rol important. De aceea cel tarziu acum trebuie intelese spatiile local convexe. (Topologia lor este data nu doar de o norma care separa bine punctele, ci de o droaie de seminorme ce separa in ansamblu punctele.) Mai devreme sau mai tarziu se vede ca o buna educatie in topologie (nu foarte patologica) este bine venita.

Dupa foarte multe teoreme "standard", omul normal se indreapta spre studiul operatorilor pe spatii Banach - sau si mai bine pe spatii Hilbert. (Norma vine in ultimul caz dintr-un product scalar.) Exista teoreme de descompunere spectrala. Ele corepund teoremelor de clasificare a matricilor nxn. Dar aici n-ul - dimensiunea spatiului pe care actioneaza matricea respectiva, se pierde uneori in infinitatea lucrurilor. Cei si mai departati de realitate studiaza atunci algebre de operatori pe astfel de spatii, cerand anumite conditii... Dam de algebre speciale..
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/C*-algebra
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/W*-algebra
dar lucrurile devin din ce in ce mai speciale, iar cercetatorii asuma o buna bucata din viata pentru a intelege ce se intampla in "combinatorica infinita" asociata...

In analiza functionala, poate cele mai importante cunostinte sunt cele despre spatii Hilbert si operatori liniari marginiti pe ele. Spatiile Sobolev sunt o instanta demna de luat la mana, ele controleaza (functional) ce se intampla cu ecuatiile diferentiale in spatiile euclidiene. Cei ce vor sa mearga in directia asta (cu distributii = functii generalizate cu tot) au tot timpul analiza functionala in fata. Monografiile lui H"ormander, azi gasibile usor pe torenti sau 1-click-sites, sunt de baza.

Exista si spatii Banach in dualitate, lucru care aduce structura frumoasa, de exemplu
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/H%C3%B6lder%27s_inequality

Ar mai fi multe de spus...

ati putea totusi sa imi dati jiste repere mai concrete?adica niste exemple editate in latex cu rezolvarile,stiu ca poate cer prea mult dar daca se poate va rog sa ma ajutati pentru ca eu mi-as dorii foarte mult sa merg la facultatea de matematica si as vrea sa fiu in tema atit cit se poate.va multumesc

Cautand pe Google
functional analysis filetype:tex
am dat de urmatoarele "carti".

math.rice.edu/~semmes/fun3.tex
www.florianstecker.de/Skripte/fan/skript.tex
www.florianstecker.de/Skripte/fan2/skript.tex
http://www.uea.ac.uk/~h720/teaching/functionalanalysis/materials/FAnotes.pdf
www.uea.ac.uk/~h720/teaching/functionalanalysis/materials/FAnotes.tex
www.dpmms.cam.ac.uk/~twk/Anal.tex

Exista multe altele.
In Romania ar trebui sa fie accesibile multe traduceri.

Cartea mea favorita (tradusa in romana) este cea a lui
Leonid Vital?evich Kantorovich, Gleb Pavlovich Akilov
Analiza Functionala.

Cursul meu de la facultate a fost dupa cartea domnului Romulus Cristescu. Cautandu-i numele am dat de
http://www.vasile-ene.com/books2.html
care e o alta carte (pe care nu o cunosc), dar in descriere apar ca surse altele pe care le cunosc: CITEZ:

... The present book is intended as a manual in Functional Analysis, devoted to the students of the 5th semester of the Faculty of Mathematics-Informatics of the "Ovidius" University Constanta. It is based on the classical manuals of Romulus Cristescu (Analiza functionala, editia 2, Editura didactica si pedagogica, Bucuresti, 1970, in Romanian), Nicolae Gheorghiu (Introducere in analiza functionala, Editura Academiei, Bucuresti, 1974, in Romanian), Gheorghe Siretchi (Analiza functionala, Universitatea din Bucuresti, Facultatea de matematica, Bucuresti, 1982, in Romanian) and Dumitru Gaspar (Analiza functionala, Editura Facla, Timisoara, 1981, in Romanian). Very useful were the books of the academician Miron Nicolescu (Functii reale si elemente de topologie, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1958, in Romanian), as well as the book of Alexandru Ghica (Analiza functionala, Editura Academiei, Bucureti, 1967, in Romanian), who had an important contribution to the orientation of the Romanian mathematicians towards the Functional Analysis.
...

In plus, sper sa nu fiu inteles gresit, linkul pe care il trimit de obicei in astfel de cazuri este...
http://www.giyf.com/
(Nu avem din pacate rubrica [Amuzamente (nu neaparat) matematice]...)

Cred ca problema cu matematica si trecutul primelor trepte este urmatoarea...

Daca am trebui sa invatam cartea de telefon pe de rost (pe vremea mea era un banc pe tema asta care se termina cu intrebarea 'Pana cand?!'), atunci progresul este liniar cu timpul. (Consideram ca memoria este constanta in procesul de invatare, stocarea pura de informatie nu cunoaste astfel nici plictiseala, nici epuizare...)

In matematica, deseori, pentru a intelege primele 10 pagini dintr-un curs de facultate este nevoie de mai multe saptamani. Atat 'metoda' cunoasterii e noua (demonstratia), cat si disciplina de a nu trece mai departe pana cand toate detaliile sunt intelese, verificate si ordonate structural. Urmatoarele 10 pagini s-ar putea sa ceara chiar si mai multe saptamani. Omul este rugat sa le citeasca diagonal si urmatoarele, si pe ultimele, chiar daca nu intelege imediat totul, anumite rezultate importante des intalnite raman macar cu numele intiparite. Apoi din nou la ultima pagina neinteleasa. (In cazuri rare se recomanda sarirea peste acea pagina, declarand-o dogmatica...)

Ei bine, incurajez pe oricine sa caute (pe multii torenti sau de exemplu pe
1-click-sites ... la mine merge bine freebookspot.es cu jdownloader instalat) din multele carti una care are acelasi stil literar si acelasi ritm de urcat abrupt ca pentru propriul mod de parcurgere al lumii.

Dupa ce e fixata cartea se ia si se citeste. Daca un punct nu este clar dupa trei incercari de intelegere se poate plasa (aici sau la facultate in curs) o intrebare. Intrebarea trebuie sa fie formulata cu un cadru clar si absolut (independent de referinta - matematica nu depinde de cine stie ce caleidoscop) si trebuie sa aibe detaliul neintelegerii clar precizat. De multe ori, in acest context intrebarea este deja dizolvata sau si-a gasit raspunsul. (Pe bune. Multe probleme sunt probleme fantoma sau au raspunsul incorporat in stabilirea cadrului.)

Aici vor fi mereu oameni bine dispusi sa raspunda cu placere la astfel de intrebari.

Afacerea cu invatatul nu este o afacere cu banii, ci cu timpul.
Intelegerea trebuie sa fie optimala, dat fiind un tel anume. Pentru intelegerea analizei functionale cu scopul aplicarii in teoria operatorilor de exemplu, trebuie pus accentul pe anumite parti ale ei. Pentru folosire in directia aplicatiilor in ecuatii diferentiale (cu derivate partiale) cu totul altele. De aceea, este bine de gasit (sau mai bine intuit) care este telul! Defapt acesta este punctul de plecare.

Multi elevi si studenti isi pun increderea intr-un profesor (sau mai multi) care spun... "Citeste cartea asta, apoi..." Da, acest lucru este bun, insa de la 16 ani incolo, trebuie luate toate cartile astea libere in mana, omul trebuie sa-si puna o sumedenie de intrebari mai nou: "Imi plac spatiile Hilbert?", "Imi place combinatorica?", "Inteleg grupurile?", si asa mai departe... iar drumul trebuie ales singur. Pe vremea mea, ponderea olimpiadelor era asa de mare, incat am incercat sa devin specialist in invatarea de trucaje de rezolvat probleme trucate. Atentie, foarte multe probleme "de olimpiada" sunt "infundaturi". Astfel de lucruri trebuie recunoscute la timp. Nu contest faptul ca -luata ca problema de concurs - o problema este foarte dificila. Am vazut muuulte astfel de probleme. Dar unele din ele nu duc mai departe decat un joc de Rebus sau un roman politist. Intelegerea de structuri in directa legatura cu o aplicatie (sau cu un netz, o panza de paianjen in jurul unui domeniu de cercetare) este ceea ce e important in acest secol.

Asadar, care este prima intrebare legata de matematica?
(Si nu de organizarea in jurul matematicii...)