Sa se calculeze:

[Citat]

Asa fara nici un fel de puncte de sprijin (psihologic), problemele sunt greu de apucat undeva.
In primul rand nu stim daca chiar sunt calculabile integralele date.
Care este sursa problemelor?

In al doilea rand, chiar daca integralele sunt calculabile,
exista foarte putine sanse de a face repede ceva inteligent in directia unui progres.
Motivul este faptul ca mai multe metode concurente (in cazul in care stim psihologic ca se poate calcula ceva) ne stau la dispozitie.

O substitutie inteligenta poate fi salvatoare, pentru prima integrala de exemplu ne ajuta - ce-i drept in alta directie -
substitutia y=1/x. De exemplu:

...eventual introducerea unui parametru, diferentierea dupa el, in acest mod ne scapam de functiile urate si dam doar
de functii rationale de puteri (nu neaparat naturale) ale lui x. De exemplu, putem introduce la al doilea punct integrala ceva mai generala J(a) in care in numarator avem ln( 1 + ax... ) - nu am mai scris puterea aici in text - in fine, J(0) se calculeaza usor, apoi putem incerca sa calculam J'(a), derivarea dupa (a) se poate schimba cu procesul de derivare. Ajungem sa derivam si logaritmul, ne facem rost de functii "mai normale". Dar nu dam de functii rationale sau de ceva direct calculabil.
(Sau nu vad eu. Inca am probleme.)
Cateva exemple ale acestei metode sunt:
http://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_under_the_integral_sign
http://www.mth.kcl.ac.uk/courses/cm250/week1new.pdf
A se vedea de exemplu cele cateva integrale de la sfarsitul paginii, cat de usor se ghiceste deformarea cu un parametru?

In astfel de cazuri, integrare de la zero la unu, oamenii mai scriu functia de integrat ca serie de puteri, dezvoltare in serie Taylor (hibrida, daca nu ajung puterile naturale - ca la noi), se integreaza termen cu termen, se obtine o serie deseori legate de teoria analitica a numerelor, rezultatul vine din structura algebrica sau geometrica asociata.

Functiile de integrat satisfac anumite ecuatii functionale ce pot fi folosite. De exemplu arctan(1/t) si arctan(t) sunt legate intre ele. Substitutia y = 1/x legata de aceasta ecuatie functionala poate fi salvatoare in cazuri foarte speciale. Substitutia am amintit-o deja, totusi detaliul inca nu ajunge pentru a rezolva afacerea.

Ecuatii diferentiale pot avea o oarecare sansa de reusita, dar cred ca nu la noi.


Care este deci sursa (si nivelul) problemei, ca sa mai restrang din cautare si incercare.

Cer scuze ca n-am raspuns mai repede.

Integralele sunt dintr-o revista vietnameza [Mathematics and Youth Magazine], unde sunt date si raspunsurile:

deci se pare ca sunt calculabile. Oricum, postul de mai sus rezuma in mare parte ce vroiam sa stiu. Multumesc si Craciun Fericit membrilor site-ului Pro Didactica.