a.Aratati ca (M,.) este subgrup al grupului multiplicativ (R*,.)
b.Aratati ca M are o infinitate de elemente

[Citat] (b) Numarul real .

Nu chiar. În schimb este

.

[Citat] Nu chiar. În schimb este .

Multumesc, m-am corectat si eu cumva.
(Am tiparit o unitate fundamentala, apoi am vazut ca mai trebuie sa oblojesc, conditia nefiind chiar cea de a da o unitate fundamentala.)
Din pacate
4+3 sqrt(5)...

Am gresit:

[Citat]

O varianta ar fi lucrul in grupul de matrice patratice de ordinul 2 corespunzator, expresia normei nefind altceva decat determinantul matricei corespunzatoare. Apoi se aplica proprietatile legate de transport...
Luam matricile de forma
a b

5b a

cu a si b intregi si determinantul 1, aratam ca multimea M acestor matrice formeaza un grup in raport cu inmultirea matricelor si apoi definim functia
f:M->G; care asociaza fiecarei matrice din M numarul corespunzator a+bsqrt(5)
Aratam ca f satisface conditia de morfism si ca este bijectiva dupa care aplicam transportul.

[Citat] O varianta ar fi lucrul in grupul de matrice patratice de ordinul 2 corespunzator, expresia normei nefind altceva decat determinantul matricei corespunzatoare. Apoi se aplica proprietatile legate de transport... Luam matricile de forma a b 5b a cu a si b intregi si determinantul 1, aratam ca multimea M acestor matrice formeaza un grup in raport cu inmultirea matricelor si apoi definim functia f:M->G; care asociaza fiecarei matrice din M numarul corespunzator a+bsqrt(5) Aratam ca f satisface conditia de morfism si ca este bijectiva dupa care aplicam transportul.

In acest mod nu facem altceva decat sa mutam problema de la un inel la altul, deoarece este (mai mult sau mai putin) cunoscut izomorfismul de inele:

Pentru primul punct, versiunea cu matrici este mai simpla pentru nivelul de liceu, avand in vedere ca determinantul (si nu norma) este un morfism multiplicativ bine impamantenit. (Se presupune insa ca exista maturitatea matematica de mutare a structurii, caz in care preferintele se pot schimba...)

La al doilea punct, trebuie sa punem mana pe un element de ordin infinit intr-o incarnare sau alta a structurii. Cu numere ne stim mai bine, avem valoarea lor reala (absoluta), la matrici nu avem un reper imediat. In ambele cazuri trebuie sa ne reducem la rezolarea ecuatiei Pell...

multumesc!