Bun? seara!

Am avut de rezolvat urm?toarea problem?:

Fie R un inel. Ar?ta?i c? idealele bilaterale ale inelului de matrice n x n cu elemente din R, M(R), sînt de forma M(I), unde I este ideal bilateral al lui R.

Iat? cum am procedat eu:
- Ar?t?m c? M(I) este ideal - simplu, deoarece opera?iile se fac pe componente, care se g?sesc în ideal, deci ?i matricele cu asemenea componente vor forma un ideal.

- Ar?t?m c? toate idealele au aceast? form?. Mai precis, fie J un ideal bilateral al lui M(R). Caut I ideal bilateral al lui R, cu J=M(I).
Am f?cut a?a:
Fie

.
Definim

. Adic? mul?imea care con?ine toate elementele matricelor din J.
Avem, din construc?ie, J=M(I). R?mîne s? ar?t?m c? I este ideal al lui R, care iese tot imediat, din cam acelea?i argumente ca la punctul cel?lalt.

Întrebarea este: am rezolvat corect? Nu de alta, dar peste tot unde am g?sit problema asta, demonstra?iile sînt diferite de a mea. Bine, se poate s? fi g?sit eu o alta, dar a mea îmi pare cam muncitoreasc? (s? nu scriu "ciob?neasc?") ?i m? tem c? ar fi gre?it?.

Mul?umesc.

Aleg din cele de mai sus cateva boabe, care poate arata unde e o prima problema...

[Citat] Fie R un inel. Ar?ta?i c? idealele bilaterale ale inelului de matrice n x n cu elemente din R, M(R), sînt de forma si numai de forma M(I), unde I este ideal bilateral al lui R. - Prima implicatie. Fie I un ideal bilateral al lui R. Ar?t?m c? M(I) este ideal bilateral al lui M(R) - simplu. - Implicatia mai grea: Fie J un ideal bilateral al lui M(R). Asociem I a fi *multimea* elementelor din R care apar undeva ca intrare intr-o matrice din J. Afirmatii: I este ideal bilateral al lui R . J = M(I) . ....

De ce este I ideal si anume unul bilateral?
Intrebare inclusa aici: Sa zicem ca R este ZZ, inelul intregilor, ca sa avem un exemplu mai simplu. Ne legam de matrici 10x10 (n=10).
Daca 17 apare pe pozitia (1,5) a matricii A din J si
daca 22 apare pe pozitia (8,8) a matricii B din J
cum aratam ca 22-17 se afla pe o pozitie, undeva intr-o matrice C?

Nu mai vorbesc de 2011 x 17 (=17+17+...+17 in cazul nostru cu ZZ, dar trebuie sa dam de un argument multiplicativ structural care in general trebuie sa functioneze cu o structura multiplicativa pe R poate ceva mai complicata.)

În?eles. Mul?umesc.

Nu am vrut sa spun ca ideea nu e valoroasa - lipseste doar intrarea in detaliu - cand oricum mai devreme sau mai tarziu trebuie sa apara pe scena principalele mijloace de "intors structura" in inelul matricilor peste (inelul nu neaparat comutativ si nu neaparat cu unitate) R.
(Undeva trebuie sa folosim si noi ca J este ideal bilateral, in postarea initiala nu intervenea nicicum.)

Aceste mijloace sunt
- inmultirea / conjugarea cu matrici de permutare, dar pentru a scrie acel 1...
- inmultirea cu matrici elementare E(i,j;r) din ambele parti, aici i si j sunt indici in [1..n], iar r este un element din R. Matricea elementara are cu exceptia pozitiei (i,j) toate intrarile nule, iar pe pozitia (i,j) are acest r.
Putem folosi E(i,j; ?1? ) pentru a face rost de anumite bucati, dar nu stim daca 1 este in R... (In fine, vom gasi deseori un prieten insistent care vrea sa adjunctioneze...)

Solutia trebuie cumva data, incat sa fie buna pe toate cazurile.
Din pacate, solutiile sunt date (in monografii standard) cu cat mai putine cuvinte. De multe ori cititorul nici nu percepe prin ce subterane trece metroul in cate o solutie, el vede numai pasul 1, pasul 2... si statiile bine iluminate.

Cred ca acestea sunt motivele principale pentru care in carti solutia trece prin constructii "trucate".

Sa incercam insa aici cativa primi pasi.

Fie J ideal bilateral in M(n,n; R) .
Pentru fiecare indici i,j intre 1 si n asociem *multimea*
I(i,j; R) = multimea acelor r din R pentru care exista o matrice A din J care are pe pozitia (i,j) r-ul cu pricina.

Este I(i,j;R) ideal?
Bilateral?
Daca avem unitatea 1 in R si conjugam...
Putem sa ne reducem mereu (cumva) la cazul unui inel cu unitate?