Vreau doar o idee si sa stiu daca se rezolva in putine randuri. Am observat ca daca as scoate factor comun de pe prima coloana radical din ab, atunci pe prima linie o sa am inversul celei de-a doua linii. Si daca le adun la ambele 1 de pe linia a doua avem sus acelasi patrat. Sunt pe drumul cel bun? Multumesc!

Eu am ceva imptriva radicalilor, prefer expresiile algebrice curate, chiar daca intru in grade mai mari.
Notez deci mai bine cu un (x patrat) acel (a).
Acelasi lucru pentru (b) si (c).

Eu vad ca problema se leaga de cele trei medii pentru cate doua din cele trei litere,
dar pentru calculul de determinant in sine lucrul acesta mai mult sta in drum.
Asadar scoatem 2 respectiv (1/2) ca factor pe liniile corespunzatoare...

Atunci avem problema pusa ceva mai algebric, cu o ordine a coloanelor ce mi se pare mai naturala...

Multumesc, aproape la aceasta forma am ajuns si eu. Am crezut ca necesita un artificiu pe care inca nu il observasem. Multumesc!

EDIT: Problema mi-a fost data la scoala, cu observatia ca este frumoasa. Totusi nu stiu daca asta implica sau nu o rezolvare mai directa.

Scoatem un radical din ab si corespunzatoarele de pe celelalte coloane si ramanem cu un determinant care are pe coloane elemente de tipul t 1 1/t. Si de aici cu Vandermonde.

Codul sage (interactiv) este:


dan@riemann:~/sage/sage-4.4.3-linux-32bit-ubuntu_10.04_lts-i686-Linux$ ./sage
----------------------------------------------------------------------
| Sage Version 4.4.3, Release Date: 2010-06-04 |
| Type notebook() for the GUI, and license() for information. |
----------------------------------------------------------------------
sage: var( 'x,y,z' );

sage: a(x,y) = (x^2+y^2)/2
sage: b(x,y) = x*y
sage: c(x,y) = 2/(1/x^2+1/y^2)

sage: A = matrix( 3,3, [ a(y,z),a(x,z),a(x,y), b(y,z),b(x,z),b(x,y), c(y,z),c(x,z),c(x,y) ] )
sage: A
[1/2*y^2 + 1/2*z^2 1/2*x^2 + 1/2*z^2 1/2*x^2 + 1/2*y^2]
[ y*z x*z x*y]
[2/(1/y^2 + 1/z^2) 2/(1/x^2 + 1/z^2) 2/(1/x^2 + 1/y^2)]

sage: A.det().factor()
(y - z)*(x - z)*(x - y)*(x*z - y^2)*(x*y - z^2)*(x^2 - y*z)*x*y*z/((y^2 + z^2)*(x^2 + z^2)*(x^2 + y^2))


Rezultatul, cerut tot in sage (lucru util pentru cei ce scriu carti si referate poate), prin
sage: latex( A.det().factor() )
este

Nu vreau sa fiu inteles gresit, determinantul cerut se calculeaza "cumva algebric", fie facand calculele cu mana si punand cat mai repede in evidenta un factor "de grad mare", care reduce complexitatea in grad pentru rest, fie cerandu-le computerului.

Creativitatea matematica este in secolul inceput dincolo de calcule, poate undeva unde structurile pot sa organizeze (uman) mai bine matematica. Problema data este importanta ca exercitiu (estetic) de formare a rutinei. Este surprinzator de vazut (odata ce avem raspunsul) faptul ca daca unul din numere este media geometrica a celorlalte, atunci determinantul este nul.

Vor "castiga" cei ce pot imbina ambele lumi...