Bun? seara!

O problem? clasic?, a c?rei eviden?? se accept? mai peste tot, dar pentru care nu am g?sit solu?ia formal?:

Ar?ta?i c? sfera

este homeomorf? cu discul cu frontiera echivalat?

.

Ar?ta?i-mi, v? rog, care este homeomorfismul.

Mul?umesc.

Eu m-am gîndit s? transform discul în intervalul [0,1], cu capetele identificate, prin func?ia norm?. Apoi ?tiu c? intervalul ?sta e homeomorf cu cercul, prin

. ?i acum cum m? duc în n+1-dimensional?

Problema este una standard.
Probabil ca este mai usor de vizionat cum stau lucrurile daca gasim un "numitor comun". Eu as explica lucrurile dupa cum urmeaza.

Sfera n-dimensionala S(n) este ("coaja") sferei (unitate) din planul (n+1)-dimensional. Planul ecuatorial o taie in doua parti.
Proiectia stereografica p(n) este bine definita ca o aplicatie
p(n) : S(n) \ { PolulNord } cu valori in (Planul ecuatorial) .

(Planul ecuatorial) este "desigur" (radial) homeomorf cu discul deschis D(n) din acelasi plan. (Trebuie sa stim doar cum trimitem [0,1) in [0,infinit) homeomorf (strict crescator. Ne putem lega de x/(1-x) = (x-1+1)/(1-x) = 1/(1-x)-1 sau de un fel de functie tangenta de (x ori pi pe doi).)

Mai ramane sa mai adjunctionam un punct la fiecare din cele trei "nivele"
S(n) \ { PolulNord }
(Planul ecuatorial)
Discul deschis
o
D(n) .

La primul "nivel" adjunctionam desigur polul nord (cu sistemul de vecinatati cu tot).
La al doilea nivel luam compactificarea cu "punctul de la infinit. (Cu sistemul de vecinatati asociat.)
La ultimul nivel luam punctul din discul inchis cu frontiera cat facuta un punct,
D(n) / ~ .

Cel mai bine e daca ne legam de sistemul (baza) de vecinatati ce consista din calote centrate in polul nord, respectiv complemente de discuri (cu punctul de compactificare cu tot) si respectiv tot complemente de discuri (de raza <1) (cu marginea identificata la un punct cu tot).