Buna ziua! Imi puteti da cateva idei la aceasta problema? La subpunctul a) am demonstrat ca F este sistem liniar independent. Cum polinoamele de grad ? 2 au dimensiunea 3 pt ca admit baza(1, X, X^2)=> F este si sistem de generatori=> baza. Sugestii pt urmatoarele subpuncte? Multumesc mult.

Fie (V,+) R ? spa?iul vectorial al polinoamelor cu coeficien?i reali, de grad ? 2 (opera?iile
fiind cele uzuale).
a) Arat? c? F = { (X ? 1)(X ? 2); (X ? 1)(X ? 3); (X ? 2)(X ? 3)} este o baz? în V.
b) Folosind baza de mai sus ?i propriet??ile spa?iilor vectoriale, demonstreaz? formula de descompunere în frac?ii simple: Dac? P(X) este un polinom de grad ? 2 cu coeficien?i reali, exist? numerele a, b, c ? R, unic determinate, astfel ca
P(X)/(X-1)(X-2)(X-3)=a/X-1 + b/X-2 + c/X-3.
c) Scrie cum se descompune în frac?ii simple o frac?ie ra?ional? cu numitorul
(X ? 1)(X^2 + 2X + 5).
Explic? apoi (folosind teoria spa?iilor vectoriale) de ce o astfel de descompunere exist? ?i este unic?.
Multumesc!

(b) Folosind baza de mai sus ?i propriet??ile spa?iilor vectoriale,
demonstreaz? formula de descompunere în frac?ii simple...

Fie deci P(X) este un polinom de grad ? 2 cu coeficien?i reali.
Relatia
P(X)/( (X-1)(X-2)(X-3) )
=
a/(X-1) + b/(X-2) + c/(X-3)
se rescrie desigur ca o relatie liniara (dupa inmultire cu numitorul comun):

P(X)
=
a(X-2)(X-3) + b(X-1)(X-3) + c(X-1)(X-2).

Folosind (a) rezulta ca exista si sunt unici scalarii a,b,c ce conduc la egalitate. (Scrierea unica a unui "vector" P in baza de la (a).)



(c)
Scrie cum se descompune în frac?ii simple o frac?ie ra?ional? cu numitorul
(X ? 1)(X^2 + 2X + 5).
Explic? apoi (folosind teoria spa?iilor vectoriale) de ce o astfel de descompunere exist? ?i este unic?.

Sper ca este clar ca avem aceeasi afacere ca la (a) si (b), de data asta (lucrand cu polinoame) peste corpul numerelor complexe si cu
1, -1+2i, -1-2i
in locul numerelor 1,2,3 de la (a), (b).

In orice caz e aceeasi afacere pentru a arata pentru un polinom cu coeficienti complecsi P(X) ca are loc o scriere unica

P(X)/( (X-1)(X-(-1+2i))(X-(-1-2i)) )
=
a/(X-1) + b/(X-(-1+2i)) + c/(X-(-1-2i))

cu a,b,c scalari complecsi.

Daca plecam chiar cu P polinom cu coeficienti reali, atunci aplicand conjugarea complexa * (pe coeficientii polinoamelor... fractiilor rationale...) rezulta si

P*(X)/( (X-1)(X-(-1+2i))(X-(-1-2i)) )
=
a*/(X-1) + b*/(X-(-1-2i)) + c*/(X-(-1+2i))

iar din P=P* rezulta
a=a* deci a real
b=c* (si c=b*) .

Daca notam acum b=b'+ib'' , cu b', b'' reali, si inlocuim in
P(X)/( (X-1)(X-(-1+2i))(X-(-1-2i)) )
=
a/(X-1) + (b'+ib'')/(X-(-1+2i)) + (b'-ib'')/(X-(-1-2i))

dam de o scriere a lui P asa cum vrea cartea...
Unicitatea scrierii cu noii coeficienti
rezulta
din unicitatea scrierii cu a,b,c...

Nota: Acesta este un mod de a evidentia spatii vectoriale, pentru a reformula teorema de descompunere in fractii simple. Mai exista si altele, dar acest mod este (din punctul meu subiectiv de vedere) cel structural!