[Citat]
(cls a VI-a)
(1) Pe o masa sunt 7 cartonase pe care sunt scrise nr 1, 7, 9, 11, 12, 16 si 75. Ilie si Paul au luat, fiecare, cate trei cartonase si au observat ca suma nr de pe cartonasele lui Ilie este de 5 ori mai mare decat suma numerelor de pe cartonasele lui Paul. Care este numarul scris pe cartonasul ramas pe masa?
(Raspunsul este 11.)
(2) Un muncitor a executat un nr de piese. Numarandu-le cate 8, 10, 12 ii ramane de fiecare data o piesa. Cand numara cate 7 nu ii mai ramane niciuna. Determinati nr de piese executate considerand ca el este cel mai mic nr cu aceasta proprietate.
(Raspunsul este 721.)
|
Draga Andreea, o sa incerc sa rezolv problemele de asa natura incat ideea de rezolvare in cazul de fata (si in alte cazuri asemanatoare) sa fie cat de clara.
Eu scriu multe propozitii, dar experienta mea e ca e mai bine asa, oamenii fug de matematica arida...
(1)
Prima solutie:
Sa ne imaginam ca Ilie, cel cu suma mult mai mare,
nu are cartonasul cu 75. Atunci el aduna cel mult 11+12+16 puncte, care nu-i ajung nici macar daca Paul ar fi avut doar doua cartonase, in cel mai rau caz 1+7.
Deci Ilie are 75-ul de partea sa.
Atunci facand suma punctelor lui Ilie, ea se afla intre
75+1+7 = 83 si
75+12+16 = 103 .
Stiind ca suma este un multiplu de 5, ne restrangem la doar cateva cazuri, chiar daca nu stim cum le obtinem din cele cateva cartonase. Sumele divizibile cu 5 sunt 85, 90, 95, 100 .
Deci trebuie sa vedem cum ne aranjam cu cartonasele lui Paul, pentru a obtine respectiv cate o cincime, anume 17, 18, 19 sau 20.
Daca Paul are cartonasele 1,7,9 el aduna 17 puncte.
1+7+9 = 17 .
Este si numarul minim de puncte pe care le poate aduna. Daca el schimba unul sau mai multe din cartonase incercand sa faca rost de o alta suma, desigur, punctele ii cresc.
Daca schimba 9-le pe 11 suma minima creste cu 2, avem
1+7+11 = 19 .
Daca schimba 9-le pe 12 suma minima creste cu 3, avem
1+7+12 = 20 .
Daca schimba alt cartonas (pe cel putin 11) sau daca schimba 9-le pe mai mult de 12, deja suma scapa de 20 si nu mai e bine.
Ramane sa vedem daca si cum putem realiza in fiecare din cele trei cazuri constelatia cu suma lui Paul de cinci ori mai mica decat cea a lui Ilie.
- cazul in care Paul are 1+7+9 = 17 puncte. Vrem pentru Ilie sa obtinem suma 5x17 = 85 din trei dintre cartonasele 11,12,16,75. Pe 75 trebuie sa-l luam. Cum putem face rost de suma 10=85-75 din doua cartonase ramase... ? Nu putem.
- cazul in care Paul are 1+7+11 = 19 puncte. Vrem pentru Ilie sa obtinem suma 5x19 = 85 din trei dintre cartonasele 9,11,12,16,75. Pe 75 trebuie sa-l luam. Cum putem face rost de suma 20=95-75 din doua cartonase ramase... ? Nu putem, trebuie sa luam cel putin 9+12 = 21...
- cazul in care Paul are 1+7+12 = 20 puncte. Vrem pentru Ilie sa obtinem suma 5x20 = 100 din trei dintre cartonasele 9,11,16,75. Pe 75 trebuie sa-l luam. Cum putem face rost de suma 25=100-75 din doua cartonase ramase... ? Da, putem. 25=9+16, asa si numai asa. Deci in acest unic caz posibil ramane cartonasul 11 pe masa.
In prima solutie nu am folosit divizibilitatea, ci marimea numerelor. (Cand mergem sa cumparam merinde, ne intereseaza cati bani avem anume cat de multi. De obicei, astfel de solutii sunt mai usor de gasit, chiar daca avem mai multe cazuri.)
Solutia a doua, incercam sa folosim cat de mult divizibilitatea:
Ca si la prima solutie, Ilie are cartonasul 75.
Lui ii mai trebuiesc doua cartonase, iar suma lor e divizibila cu 5...
Asa ca aranjam cartonasele ramase 1, 7, 9, 11, 12, 16 dupa resturile ce le dau la impartirea cu 5:
rest 0:
rest 1: 1, 11, 16
rest 2: 7, 12
rest 3:
rest 4: 9
Trebuie sa ii mai dam doua cartonase lui Ilie, astfel incat suma sa fie divizibila cu 5. Acest lucru se poate doar daca Ilie are 9+1 sau 9+11 sau 9+16. In orice caz are 9-le. (A trebuit sa gasim resturi "complementare", deci fie 1 si 4, fie 2 si 3. Doar combinatia "1 cu 4" merge, iar in sertarul cu 4 il avem doar pe 9.
Putem acum lua pe cazuri, doar 3:
- cazul in care Ilie are 1+9+75 = 85. Vrem pentru Paul suma 85/5 = 17 din cartonasele ramase. Nu putem, i-am furat deja 1, el va trebui sa aleaga cel putin 7+11+12.
- cazul in care Ilie are 9+11+75 = 95. Vrem pentru Paul suma 95/5 = 19 din cartonasele ramase. Nu putem, el va trebui sa aleaga cel putin 1+7+12=20.
- cazul in care Ilie are 9+16+75 = 100. Vrem pentru Paul suma 100/5 = 20 din cartonasele ramase 1,7,11,12. Pe 1 trebuie sa il luam. Suma e para, deci mai avem exact un numar impar. Deci pe 12 trebuie sa-l luam. Mai ramane de luat 20 - (1+12) = 7, deci 11 ramane pe masa.
Problema a doua:
Notam cu N numarul de piese...
Daca scadem 1, dam de N-1. Acesta este un numar care se divide prin 8,10,12.
Echivalent, se divide prin cmmmc al acestor numere. Deoarece
8 = 2 . 2 . 2
10 = 2 . 5
12 = 2 . 2 . 3 ,
rezulta ca cmmmc( 8,10,12 ) = 2.2.2.3.5 = 2.2.3. 10 = 120.
Deci N-1 este unul dintre numerele
0, 120, 240=2x120, 360=3x120, 480=4x120, 600=5x120, 720=6x120, ...
(Resturile la impartirea cu 7 sunt aceleasi ca si pentru 0, 1 singurul calculat, 2x1, 3x1, 4x1, 5x1, 6x1, ..)
Deci N este unul din numerele 1, 121, 241, 361, 481, 601, 721, ...
(Resturile la impartirea cu 7 sunt aceleasi ca si pentru 1+0, 1+1, 1+2x1, 1+3x1, 1+4x1, 1+5x1, 1+6x1, ..)
Care din aceste numere este cel mai mic, care se divide cu 7? Desigur ca 721, explicit avem 721/7 = 103 .
Access general
Conţine mesaje necitite
