|
|
Buna ziua ! Problema aceasta a fost data la etapa locala a olimpiadei de matemtica din judetul Neamt :
Fie ABCDE un pentagon si M,N,P,Q punctele de intersectie ale segmentelor ce unsec mijloacele laturilor opuse in patrulaterele BCDE,CDEA,EABD si ABCE.Sa se demonstreze ca MNPQ este paralelogram daca si numai daca ABCD este paralelogram.
Nu stiu cat de mult ma poate ajuta desenul,poate doar pentru a-mi face o idee,pentru ca este prea incarcat si nu se mai intelege nimic.
Cum as putea demonstra acest lucru ?
La prima implicatie "==>" MNPQ este paralelogram <==> rM + rN = rP + rQ,iar de aici trebuie sa ajung la concluzia ca rA + rc = rB + rD pentru a arata ca ABCD este paralelogram. Cum pot face ? Sa calculez vectorii de pozitie ?
Multumesc anticipat !
|
|
|
In ceea ce priveste notatiile, poate ca urmatoarele propozitii clarifica cat de cat lucrurile.
In loc de (vectorul OX), unii oameni prefera o notatie mai usor de digerat, notatiile sunt anume in matematica mai mult parte de conventie decat parte de intelegere. Unii scriu pur si simplu X, dar unde scriu asa ceva trebuie sa fie atenti. Altii prefera sa ia direct (in sensul unui afix) un x in loc de X. Avantajul este de a lucra cu un numar complex din plan (daca OX era vector din plan) sau pur si simplu cel de a economisi punctul O si sageata din notatii.
Economisirea lui O este o treaba la care trebuie sa fim atenti. Strict vorbind trebuie sa-l fixam o data pentru totdeauna la inceput de drum. Dar multe relatii nu depind de el, daca cumva ne schimbam punctul de vedere pe drum. (Multe, dar nu toate.) Relatiile pe care le scriem cu vectori sunt de obicei liniare. (In plan, in fine, putem sa si inmultim pentru a implementa rotatii, dar nu e cazul aici.) DACA sunt liniare, atunci pe amble parti ale unei egalitati avem ponderi. Daca suma ponderilor pe o parte si respectiv pe cealalta coincid, atunci relatia nu depinde de originea O aleasa...
Cateva exemple.
Avem doi vectori OA si OB ce pleaca din O, vrem sa scriem vectorul de pozitie fata de acelasi O al mijlocului C al (segmentu)lui AB. Ei bine, repede ajungem la formula:
OC = (1/2) (OA+OB) .
Unii oameni scriu poate in loc 2 OC = OA+OB si mai simplu chiar
2 C = A+B sau
2c = a+b ... (aceeasi conventie).
Scrierea e mai simpla, chiar mai mult, daca vrem sa schimbam O-ul intr-un X, deoarece suma ponderilor (2 pe stanga si 1+1 pe dreapta) e aceeasi, putem scrie
2 XC = XA + XB si e bine.
(In definitiv, daca luam XC=XO+OC si analoagele si le inlocuim, vedem ca se simplifica partea in XO, iar formula liniara cu vectorii bazati in O o stiam deja).
La fel, pentru a ne lega de centrul de greutate G al triunghiului ABC, ajunge sa scriem
3G = A+B+C .
In problema, autorul nu a putut sa se exprime in limba romana normala, a vrut sa ne ascunda poate doua lucruri simple intr-o figura foarte complicata. Autorul prefera (pentru litere A,B,C,D fara legatura cu problema) expresia
"intersectia segmentelor ce unsec mijloacele laturilor opuse in patrulaterul ABCD"
in locul lui
"centrul de greutate al lui ABCD".
Cum putem vedea ca e vorba de acelasi lucru? Introduc notatii, fie IJKL paralelogramul determinat de mijloacele laturilor AB, BC, CD, DA. (E un paralelogram, deoarece laturile
- sunt paralele cu si
- de lungime jumatate din
una sau alta din diagonalele lui ABCD.)
Atunci in sensul conventiei de mai sus,
I fiind mijlocul lui AB, putem scrie
2 I = A+B si
K fiind mijlocul lui CD, putem scrie
2 K = C+D .
Intersectia G a lui IK cu JL este la mijlocul lui IK, deci
4G = 2.2G = 2.(I+K) = 2I + 2K = (A+B)+(C+D) = A+B+C+D.
Centrul de greutate al lui ABCD satisface aceeasi formula.
De aceea m-am grabit deja sa il notez cu G.
Dupa cativa ani de lucru cu astfel de formule, vectorii isi pierd din sicane, oamenii tind sa scrie litere mici, si eu as fi scris din prima relatia
4u = x+y+z+t
din postarea de mai sus.
Daca cele de mai sus sunt inca iritante,
atunci solutia de la prima problema trebuie interpretata asa:
Fixam o data pana la sfarsitul solutiei un O, origine.
Ori de cate ori vedem o litera mica
a,b,c,d,e,m,n,p,q
in peisaj liniar, o inlocuim cu versiunea capitalizata si ii punem O-ul in fata, adm respectiv de:
OA, OB, OC, OD, OE, OM, ON, OP, OQ.
Toate relatiile au loc...
---
df (gauss)
|
Access general
Conţine mesaje necitite
