Consideram parabola (P):y^2=2px, si M nu apartine parabolei.Prin M ducem cele 2 tangenta la parabola.Sa se arate ca:
1.Aceste tangente se vad din focar sub unghiuri egale.
2.Proiectiile tangentelor pe directoare sunt egale.
3.Unghiul ascutit format de tangente are aceeasi bisectoare cu unghiul format de dreapta ce uneste M cu focarul si de semidreapta prin M paralela cu Ox spre interiorul parabolei.

Punctul M trebuie sa fie in afara acoperirii convexe a parabolei, altfel nu putem duce tangentele.

Problema este o problema standard de geometrie analitica.
Cu alte cuvinte, ea se rezolva scriind ecuatii si reformuland cele ce trebuie aratate ca egalitati. Sper ca este clar ca aici nu ne putem apuca sa tiparim formule pentru o problemutza, efectul didactic ar fi relativ mic.
Mai bine sa vedem unde sunt problemele de fapt in modul de abordare.
Pentru inceput pun si eu cateva intrebari ca sa vedem daca temele de casa sunt facute.

(1) Care sunt coordinatele focarului parabolei date?
(2) Care este ecuatia directoarei parabolei date?
(3) Fie M(u,v) un punct din care putem duce cele doua tangente la parabola. Care sunt ecuatiile celor doua tangente din problemutza?

N.B.
http://en.wikipedia.org/wiki/Parabola
Pagina spaniola care nu imi iese aici nicicum de legat
http://es.wikipedia.org/wiki/Parábola_(matemática)
prezinta si o proprietate cunoscuta a parabolei. (Este ceea ce vor fizicienii...)

[Citat] Problema este o problema standard de geometrie analitica. Cu alte cuvinte, ea se rezolva scriind ecuatii si reformuland cele ce trebuie aratate ca egalitati. Sper ca este clar ca aici nu ne putem apuca sa tiparim formule pentru o problemutza, efectul didactic ar fi relativ mic.

De acord. De aceea, poate o solu?ie sintetic? ar fi mai de interes.

Se ?tie c? parabola este locul geometric al punctelor egal dep?rtate de un punct fix (focar) ?i de o dreapt? fix? (numit? directoare).
Astfel, dac? M e un punct al parabolei, avem (a se vedea figura urm?toare) MF=MM'.



Mai mult, tangenta în M la parabol? este bisectoarea unghiului FMM'. Demonstra?ia este elementar?: s? presupunem contrariul ?i s? ducem bisectoarea. Atunci ea va mai intersecta parabola într-un punct N. Dar, evident, cum FM=MM' ?i N e pe bisectoarea lui FMM', triunghiurile FMN ?i M'MN vor fi congruente, a?adar FN=NM'.
Pe de alt? parte, cum N e pe parabol?, FN=NN'. Rezult? NM'=NN', o contradic?ie.



S? ducem acum dintr-un punct M tangentele MA ?i MB la parabol?. Triunghiurile FAA' si FBB' sunt isoscele, deci tangentele MA,MB sunt mediatoarele segmentelor FA' si FB'.
Dar atunci rezult? c? M este centrul cercului circumscris triunghiului A'FB', a?adar MA'=MB', deci M'A'=M'B' (a se vedea figura).

Tocmai am demonstrat c? proiec?iile tangentelor pe directoare au lungimi egale.

domnule Enescu si inca o rugaminte o indicatie pentru punctul 3 ? atat doresc este o problema data la facultatea de matematica an I

In fapt, trebuie sa demonstram ca unghiul AMF=M'MB.
Dar M'MB=M'B'F, care in cerc subintinde arcul A'F, iar AMF=A'MF/2 si A'MF este unghi la centru care subintinde acelasi arc. De aici concluzia.



Uploaded with ImageShack.us