Buna ziua!
Am o problema la geometrie:
Fie ABCDEF un hexagon regulat si M,N doua puncte pe (CF) respectiv CE) si raportul CM/CF=EN/EC=r.Sa se determine valoarea lui r penctru care punctele B,M si N sunt coliniare.

Impreuna?

Sa zicem ca stim sa desenam pe unde se afla constelatia castigatoare a punctelor M si N. Mai desenam punctul O, centrul hexagonului. (Din partea mea putem sa punem problema plecand cu un paralelogram BCEF, lucrurile stau la fel.)

Sa incercam sa aplicam Ceva Menelaos in triunghiul OCE fata de secanta prin (B,M,N) ... cam cum stau lucrurile mai departe?!

Din relatiile pe care le-am avut am ajuns la urmatoarea:
BM=(1-r)BC + 2rBC - 2rAB (totul vectorial) si deaici trebuie sa-l scot pe r ... cum fac asta ca stiu ca trb sa dea un raport doar cu r.

Strategia de rezolvare vectoriala este de obicei urmatoarea.
Ne facem rost de doi vectori (liniar) independenti, prin care putem exprima (liniar) orice alt vector din plan. Eu as propune sa ii luam pe

b = OB si
c = OC .

(O este centrul hexagonului.)
Atunci avem de exemplu CB = OB - OC = b-c.
Calculam in functie de vectorii b,c si de scalarul r
CM, CN, CB .
O conditie necesara si suficienta ca M,N,B, sa fie coliniare este existenta unui s parametru real cu
CM = s CN + (1-s) CB .
(Sau poate CN = s CM + (1-s) CB, daca ne e mai usor. Sau...)
Din relatia de mai sus, identificam coeficientii in b, dam de o ecuatie, apoi pe cei in c, dam de alta.

Rezolvam sistemul de doua ecuatii cu doua necunoscute (acestea fiind r,s).
Ce ecuatie (de gradul II) satisface r?