Buna ziua!
Am de demonstrat o ingalitate folosind metoda inductiei matematice,dar nu imi iese:
1 / (n+1) + 1 / (n+2) + .... + 1 / (3n+1) > 1,pt orice n >= 1;

Pentru n = 1,relatia se verifica.
Am scris inegalitatea in felul urmator : 1 / (n+1) + 1 / (n+2) + ... + 1 / (3n) = 1 - 1/(3n+1);
Presupun ca P(k) e adevarata. Am :
P(k) ---> 1 /(k+1) + 1/(k+2) + ... + 1/(3K) > 1 - 1/(3k+1);

P(k+1) ---> 1 /(k+2) + 1/ (k+3) + ... + 1/(3k+3) > 1 - 1/(3k+4);
Adun 1/(k+1) si obtin in P(k+1) pe P(k) :

1/(k+1) + ...+ 1/(3k+3) - 1/(k+1) > 1- 1/(3k+1) + 1/(3k+1) + 1/(3k+2) + 1/(3k+3) - 1/(k+1) daca si numai daca 1 + 1/(3k+2) + 1/(3k+3) - 1/(k+1) > 1 - 1/(3k+1)
Acum trebuie sa aduc la acelasi numitor ? Am incercat asa,dar nu mi-a iesit nimic sau poate am gresit eu?






Multumesc anticipat!

Sa zicem asa:

Am aplicat inegalitatea Titu Andreescu.

V? mul?umesc mult,dar mie îmi cerea s? demonstrez prin induc?ie ?i de aceea voiam s? m? corecta?i ?i s? îmi spune?i ce nu e bine .

Sa incercam sa intelegem cum stau lucrurile pe cel mai simplu caz cu putinta.
Sa zicem ca "stim" ca

1/2 + 1/3 + 1/4 > 1 .

Cum putem sa ne folosim de cele de mai sus, astfel incat fara a face calcule suplimentare prea multe sa facem rost de

1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 > 1 .

Poate ca putem folosi prima inegalitate, poate ca nu putem.
Suntem insa optimisti si comparam.
Ar fi bine *daca* am avea ?? 1/2 < 1/5 + 1/6 + 1/7 ??,
deoarece atunci putem scrie

1 < 1/2 + 1/3 + 1/4
= 1/3 + 1/4 + 1/2
?? < 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 ?? .

Mai avem deci problema cu acel *daca* si cu semnele de intrebare.
(Desigur, cu numerele explicite de mai sus putem decide repede cum stau lucrurile, dar incercam sa decidem ceva, doar daca putem generaliza repede.)

Acum observam ca putem sa il impartim pe 1/2 in trei parti egale, mai avem de deslusit cum stau lucrurile cu

?? 1/6 + 1/6 + 1/6 < 1/5 + 1/6 + 1/7 ??

Simplificam cu un termen comun afacerea si poate cel mai bine facem calcule...
Cum stau lucrurile cu

?? 12/36 < 12/35 ??

Stau bine.
Acum, fara a despica lucrurile deductiv, dupa ce stim ca toate merg bine, putem redacta solutia "direct la tinta". Cum arata deci solutia suverana?



N.B. Ceea ce compar eu mai sus si ceea ce e de comparat in postarea originala se corespund cumva? (De exemplu pentru k=1?) Cum se conduc calculele deci cel mai bine din punctul de innamolire? (Rescrierea cu "1-ceva" mie imi cam sta mai mult in drum...)