Dati-mi si mie o idee la urmatoarele probleme

1)Exista numere naturale de 2004 cifre , cu primele doua cifre 33 , avand proprietatea ca prin stergerea acestora se obtine un numar de 45 de ori mai mic ?

Si a doua

2)Exista numere naturale nenule cu proprietatea ca prin stergerea primei cifre se obtine un numar de 45 de ori mai mic ?

Va multumesc timpul acordat

[Citat] Dati-mi si mie o idee la urmatoarele probleme 1)Exista numere naturale de 2004 cifre , cu primele doua cifre 33 , avand proprietatea ca prin stergerea acestora se obtine un numar de 45 de ori mai mic ? Si a doua 2)Exista numere naturale nenule cu proprietatea ca prin stergerea primei cifre se obtine un numar de 45 de ori mai mic ? Va multumesc timpul acordat

Ti-am dat idei la "Probleme propuse"

(1) Sa zicem ca numarul ala lung de 200.. de cifre este
K = abcdef....
(cu bara deasupra pentru cei pedanti.)

Ca sa avem sansa sa ne legam de numere "normale" o sa impart numarul de mai sus cu o putere mare a lui 10 astfel incat sa lucrez cu ceva normal:

ab,cdef...

(tot cu bara pentru cei ce au pus-o deja.)
Da, am mutat virgula in ordinul vizibil al lucrurilor.
Primele doua cifre sut desigur 33, iar daca le "stergem" obtinem un numar de 45 de ori mai mic.

Rescriem atunci cele de mai sus intr-o ecuatie:

33+x = 45x

unde x este din intervalul [ 0 , 1 ),
mai sus fiind 0,cdef...
Avem solutie pentru ecuatia de mai sus?
Da, dam repede succesiv echivalent de 33 = 44x, de 3 = 4x, de x = 0,750000...

Sper ca este clar ca numarul cautat este unic, anume
337500000...000 (umplerea cu zerouri pana la numarul de cifre dorit).

Verificarea se poate face (mai intai) cu numarul de patru cifre 3375...

(2) Sa zicem ca numarul ala lung de 200.. de cifre este
K = abcdef....
(cu bara deasupra pentru cei pedanti.)
Ii vom taia acum numai prima cifra...

Ca sa avem sansa sa ne legam de numere "normale" o sa impart numarul de mai sus din nou cu o putere mare a lui 10 astfel incat sa lucrez cu ceva normal:

a,bcdef...

(tot cu bara pentru cei ce au pus-o deja.)
Prima cifra "a" (in 1,2,3,4,5,6,7,8,9) este acum necunoscuta, iar daca o "stergem" obtinem un numar de 45 de ori mai mic.

Rescriem atunci cele de mai sus intr-o ecuatie:

a+x = 45x

unde x este din intervalul [ 0 , 1 ),
mai sus fiind 0,bcdef...
Avem solutie pentru ecuatia de mai sus?
Sa vedem, dam repede succesiv echivalent de a = 44x, deci x = a/44 .
Acest numar este periodic, deci trunchiindu-l pierdem din el...
Problema nu are solutie...


Tema de casa:
Cum stau lucrurile daca in loc de acel 45 luam pe rand:

15
29
36
37
51
76
85

?

Mai bine: Pentru care numere de doua cifre sau trei cifre in locul lui 45 de la problema (2) avem solutie si pentru care nu avem solutie? (Daca "stergem prima cifra" si obtinem un numar de telefon, ii mai stergem si zerourile din fata ca sa dam de un numar zecimal valid...)