Fie

Ar?ta?i c? dac?

cu

, atunci

divide

.

Indicatie:

De exemplu, baza este 5, si luam m, n mici printre 1,2,3
atunci (cu fierul de calculat):

(21:36) gp > f(x) = 4^x +6^x +9^x

(21:36) gp > a = f(5^1)
%35 = 67849

(21:36) gp > b = f(5^2)
%36 = 717926419105782425314249

(21:36) gp > c = f(5^3)
%37 = 1906837481167966155897850854079189319164459145166761319729
45738045329838629101148047162757749297198802430779389313446249

(21:36) gp > b/a
%38 = 10581238030122513601

(21:36) gp > c/b
%39 = 2656034699966939597491737262837904607695489014643031468014
49199079113077265089739681855880868001

(Am rupt mai sus numerele, ca sa intre pe pagina.)
Sunt a,b,c de mai sus divizibile cu 19 oare ?

[Citat] Fie Ar?ta?i c? dac? cu , atunci divide .

Ideea este ca una din baze este media geometrica a celorlalte doua (care sunt patrate perfecte).
Mai exact daca a si b sunt numerele naturale atunci
a^2+ab+b^2 divide pe a^4+(a^2)*(b^2)+b^4
Intr-adevar avem ca a^4+(a^2)*(b^2)+b^4=(a^2+b^2)^2-(a*b)^2=
=(a^2+a*b+b^2)(a^2-a*b+b^2)si lund a=u^(2^(m-1)); b=v^(2^(m-1))obtinem ca daca
f:N->N; f(x)=(u^2)^x+(uv)^x+(v^2)^x atunci f(2^m) divide pe f(2^(m+1)), obtinad astfel un lant ascendent in raport cu relatia de divizibilitate.
Deci mai general daca f:N->N ; f(x)=(a^2)^x+(ab)^x+(b^2)^x atunci
f(2^m) divide pe f(2^n) pentru oricare m;n naturale cu m<_n

O nota mica despre generalizari in acest context.
De multe ori, o problema si mai ales o problema de concurs, este pusa intr-un cadru particular, este ceea ce o face grea. Generalizarea ei - daca este posibila - de obicei are suficient de multe indicatii de rezolvare.

Problema initiala si toate fatetele paralele combina divizibilitatea de polinoame (homogene) cu faptul ca specializarea variabilelor (implicit s,t la mine mai sus) in numere (tot s,t de asemenea, cer scuze pentru exprimare) conserva divizibilitatea. Odata inteles fenomenul, ajunge sa ne concentram asupra divizibilitatii f(x) divide f(bx) .

Dar in conditii de concurs, acesta este un mic pas de testare a gandirii, rezolvitorul este obligat sa inteleaga care este "atomul" lantului de divizibilitati. (Didactic, ne putem opri o ora asupra acestui aspect.)
Odata inteles lantul, generalizarea este mai putin estetica deoarece este redata si asa suplu destul in forma f(x) divide f(bx).

(Daca vrem sa avem o problema grea pentru conditii de concurs, ajunge sa luam instanta (3) de mai sus cu s,t variabile generale, c arbitrar si b = 2011...)

De asemenea, in problema initiala caracterul ciclotomic al expresiei suma de puteri pentru 4,6,9 este cel ce ascunde structura. Daca stim ca e vorba de
aa, ab, bb
intr-un caz special si ca de fapt merge si cazul general (fara obstructii speciale), atunci jocul rezolvarii e usor.

Desigur ca generalizarile structurale (unde structura este cea ce se generalizeaza) sunt foarte importante, este si motivul pentru care ma leg de "motive" (mai clar, "cadre motivice") ...