Buna ziua ! Am o intrebare : cum pot calcula partea fractionara a numarului A si a nr. B daca A = 1 + 1/(1*4) + 1/(4*7) +... + 1 / (97*101) si B = 1/(1*5) + 1/(5*3)+..+1/(97*101) ?
Imi dau seama ca partea intrega a fiecarei fractii este 0,dar mai departe cum fac?

Multumesc anticipat!

Iar pentru identitatea lui Hermite (pt 3 numere)-[x]+[x+1/3]+[x+2/3] am inceput notand partea intreaga a lui x [x] = k => k <= x < k+1.
x apartine [k,k+1] => x+1/3 apartine intervalului [k+1/3,k+4/3) => [x+1/3] = k+1;
x+2/3 apartine intervalului [k+2/3,k+5/3) => [x+2/3] = k+1;
3x apartine intervalului [3k,3k+3) => [3x] = 3k + 2;
Avem de verificat relatia k+1 + k+ 1 +k = 3k + 2,adevarat.

Este aceasta o buna demonstratie sau nu ? Daca nu,cum ar trebui sa fac??

Multumesc anticipat!

Nu stiu cum sa raspund, incat raspunsul / solutia sa nu depinda de faptul ca cineva "a fumat deja" ceva asemanator.

Un prim lucru pe care il recomand in astfel de situatii este folosirea unui computer si a unui program / soft cu suport matematic.
Libere sunt gp/pari (sub 10mb) si sagemath (peste 400mb din cauza tuturor bateriilor incluse - absolut tot softul liber matematic deja scris si compatibil cat de cat cu "masinaalgoritmica" a matematicii).

Aici, la lucru fiind, am gp/pari desigur, 10mb ma ajuta si in viata de zi cu zi.
Folosind codul (sunt sigur la fel de simplu si complicat ca scrierea sumei in matematica):

sum( k=0, 32, 1 / (3*k+1) / (3*k+4) )

pari imi da raspunsul:
(20:53) gp > sum( k=0, 32, 1 / (3*k+1) / (3*k+4) )
%1 = 33/100

Poate ca lucrurile sunt mai clare daca mai incercam:
(20:54) gp > sum( k=0, 3332, 1 / (3*k+1) / (3*k+4) )
%2 = 3333/10000

Daca inca nu e clar, putem sa ne printam suma pentru primele cateva numere...
S(n) = sum( k=0, n, 1 / (3*k+1) / (3*k+4) )
for( n=0, 10, print(n," -> ", S(n) ) )

Ruland (copiere+plasare de text) dau de:
(20:56) gp > for( n=0, 10, print(n," -> ", S(n) ) )
0 -> 1/4
1 -> 2/7
2 -> 3/10
3 -> 4/13
4 -> 5/16
5 -> 6/19
6 -> 7/22
7 -> 8/25
8 -> 9/28
9 -> 10/31
10 -> 11/34

(Mai sus nu e chiar A, dar pe aproape.)

Sunt acum lucrurile clare destul? Cadrul "experimental" nu trebuie neglijat...
Daca inca e nevoie de o indicatie (neexperimentala) explicita...
Telescop


Bun, daca spunem ceva despre A, trebuie sa spunem ceva si despre B..
Cum stau deci lucruriel?

Pentru a intelege formula pentru
[x]+[x+1/3]+[x+2/3] , x numar real ,
este poate bine sa observam ca ne putem reduce fara probleme la cazul [x]=0.

Astfel scriem expresii mai compacte.
Putem imparti pe cazuri si trata corespunzator


(a) cazul x din [0/3, 1/3) : [x]+[x+1/3]+[x+2/3] = 0+0+0 = [3x]
(b) cazul x din [1/3, 2/3) : [x]+[x+1/3]+[x+2/3] = 0+0+1 = [3x]
(c) cazul x din [2/3, 3/3) : [x]+[x+1/3]+[x+2/3] = 0+1+1 = [3x]


Si sper ca aceasta solutie clarifica si cazul general... (cu 3-ul facut n si cu formula...)