Fie a,b apartin lui Q, a<b. Daca (a,b) intersectat cu Z este multimea vida, demonstrati ca b-a<1.
Multumesc.

Presupun prin absurd ca b-a >= 1 unde >= inseamna mai mare sau egal.
Obtin b >= a+1 (#)
Deci b=a+1+epsilon
(a,b)=(a,a+1+epsilon) care include intervalul (a,a+1).
Notam cu [a] partea intreaga a numarului a.
[a] <= a < [a]+1 = [a+1] <= a+1 deco [a+1] apartine intervalului (a,a+1).
Cum [a+1]= numar intreg obtinem ca
[a+1] apartine la (a,a+1) intersectat cu Z, deci [a+1] apartine la (a,a+1+epsilon)intersectat cu Z = (a,b) intersectat cu Z contradictie cu ipoteza care spune ca (a,b) intersectat cu Z e multimea vida.

Astfe tragem concuzia ca presupunerea este falsa, deci b-a<1 q.e.d

Observatie:
Daca a=2 si b=3 avem: a<b si (a,b) intersectat cu Z este multimea vida, dar b-a=3-2=1 nu este strict mai mic ca 1.
deci in ipoteza ar trebui sa am b-a<=1.
Astfel relatia (#) va deveni b > a+1 si deci epsolon mai mare strict ca 0 si rationamentul merge pe toate cazurile.

Multumesc pentru raspuns, nedumerirea o am legata de epsilon, nu l-am mai folosit pana acum in demonstratii.

Daca tot raspundem, sa raspundem incat cuantorii (exista si oricare) sa fie bine definiti si lipsiti de echivoc. De asemenea, trebuie sa plecam de la ce s-a dat, nu de la ce rezulta "evident". Nu ni s-a dat de exemplu (a,b) submultime a unui (k,k+1) pentru un k *existent*, ci ni s-a dat ca nu avem numere intregi in (a,b).

Plecam deci cu doua numere reale a,b cu proprietatea ca in intervalul (a,b) nu se afla nici un numar intreg.

Fie k = [a]. (Notatie, asa il luam. Acum sta fix acest k.)

Rezulta ca a se afla in [ k, k+1 ) .

Deoarece intervalul (a,b) nu contine nici un numar natural, rezulta ca in particular (k+1) nu se afla in (a,b) . In particular, b este mai mic sau egal cu (k+1)

De aici obtinem (fara a mai pomeni de k) si eventual pe post de solutie intr-o singura linie: