1)Fie experimentul E1-aruncarea unui zar si E2-aruncarea simultana a 2 zaruri distincte, E1 si E2 fiind 2 experimente independente.
Daca E1 se repeta de 3 ori consecutiv, iar E2 de 4 ori, sa se calculeze:
a)probalilitatea de aparitie cel putin o data a cifrei 1 in cadrul experimentului E1
b)probabilitatea aparitiei dublei de 6 in repetarea lui E2

2)Intr-un lot de 200 piese sunt defecte 6. Alegand la inceput o piesa la intamplare, apoi inca 3 simultan din cele ramase, sa se calculeze:
a) probabilitatea de a obtine o piesa defecta in cadrul celor 4 alese
b)prob de a avea in cele 4 alese 1 defecta, stiind ca prima aleasa a fost buna
c)probabilitatea de a avea in cele 4 alese 1 buna stiind ca prima aleasa a a foat defecta

Multumesc!

[Citat] 1)Fie experimentul E1-aruncarea unui zar si E2-aruncarea simultana a 2 zaruri distincte, E1 si E2 fiind 2 experimente independente. Daca E1 se repeta de 3 ori consecutiv, iar E2 de 4 ori, sa se calculeze: a)probalilitatea de aparitie cel putin o data a cifrei 1 in cadrul experimentului E1

Este mai usor sa calculam probabilitatea evenimentului contrar. Astfel probabilitatea sa nu apara deloc cifra 1 este

, deci probabilitatea cautata este

.

Ca sa ne dam seama la ce nivel dam explicatiile celorlalte puncte, puteti preciza de unde aveti aceste probleme?

[Citat] b)probabilitatea aparitiei dublei de 6 in repetarea lui E2 2)Intr-un lot de 200 piese sunt defecte 6. Alegand la inceput o piesa la intamplare, apoi inca 3 simultan din cele ramase, sa se calculeze: a) probabilitatea de a obtine o piesa defecta in cadrul celor 4 alese b)prob de a avea in cele 4 alese 1 defecta, stiind ca prima aleasa a fost buna c)probabilitatea de a avea in cele 4 alese 1 buna stiind ca prima aleasa a a foat defecta Multumesc!

Explica?iile pot fi date la nivel de facultate.

[Citat] (1b) Fie experimentul ( E2 simplu ) : aruncarea simultana a 2 zaruri distincte. Fie experimentul ( E2 ) : aruncarea simultana a 2 zaruri distinctece se repeta de 4 ori. Sa se calculeze probabilitatea aparitiei dublei de 6 (macar o data din cele 4 ori) in (E2) .

Problema este "aceeasi":
- Care este evenimentul complementar lui (E2) ?
- Care este evenimentul simplu / care sunt evenimentele simple ce trebuie sa apara cumva ? (Daca avem complicatii combinatorice in construirea "pomului"
atunci poate avem o schema binomiala mai complicata, dar aici NU este cazul.)
- Cuma arata "pomul" (cu CATE DOUA ramificatii la fiecare pas "simplu") ponderate in probabilitate cu 1/36 si 35/36 cu cei patru pasi cu tot?
- Care este deci probabilitatea cautata? Care este valoarea ei numerica (lucru obligatoriu, probabilitatile se fac pentru a vedea probabilitati si a simti probabilitati, nu pentru a ajunge la o formula pentru rezultat (doar)) ?

[Citat] (2) Intr-un lot de 200 piese sunt defecte 6. Alegand la inceput o piesa la intamplare, apoi inca 3 simultan din cele ramase, sa se calculeze: (a) probabilitatea de a obtine o piesa defecta in cadrul celor 4 alese, (b) probabilitatea de a avea in cele 4 alese 1 defecta, stiind ca prima aleasa a fost buna, (c) probabilitatea de a avea in cele 4 alese 1 buna stiind ca prima aleasa a a foat defecta.

Problema este din pacate ambiguu pusa (sau mai degraba initial pusa si transmisa in legitima aparare).
Ce inseamna "probabilitatea de a obtine o piesa defecta"?
Inseamna
"probabilitatea de a obtine EXACT o piesa defecta"
sau cumva
"probabilitatea de a obtine CEL PUTIN o piesa defecta"
?

(a)
Desigur ca putem rezolva ambele probleme usor, dar solutia lor nu e la fel de importanta cum e clarificarea enuntului (aici si in general).
Modelarea se face pe spatiul (discret, uniform) de probabilitate (Omega) cu elemente:

(a,b,c,d) , tuplet cu 4 elemente diferite a,b,c,d

sau (daca corectorul este penibil, dar in acest aspect mereu penibil si fata de propriile lucruri scrise pe tabla sau tiparite de altcineva in pdf)
si mai bine (si mai paranoid)
(a,(b,c,d))

unde a,b,c,d se plimba in spatiul (Omega simplu) = { 1,2,3, ... , 200 } .

Se prespune (in modelare) ca piesele 1,2,3,4,5,6 sunt defecte.

Avem doua probleme de combinatorica.
La cea cu EXACT avem in total
| Omega | = (200-0) . (200-1) . (200-2) . (200-3)
elemente, dintre acestea cele "favorabile"
au o piesa defecta, avem patru locuri pe care sa o luam, de fiecare data avem 6 posibilitati sa luam piesa defecta si apoi pe rand...

Numarul cazurilor favorabile este deci:
4 x 6 . (200-6).(200-7).(200-8) .

De necrezut, asa cum a fost pusa problema exista profesori (imuniversitari) care nu dau toate punctele pe cele de mai sus, dar le dau pe toate daca se scrie ceva de forma:

| Omega | = (200-0) . ((200-1) . (200-2) . (200-3))

si

Numarul cazurilor favorabile este deci:
6 . ((200-6).(200-7).(200-8))
+
(200-6) . (6.(200-7).(200-8))
+
(200-6) . ((200-7).6.(200-8))
+
(200-6) . ((200-7).(200-8).6) .

(Am folosit punctul desigur ca semn pentru inmultire.)

La faza cu CEL PUTIN se ia desigur evenimentul complementar. Ce obtinem?
Care sunt valorile numerice ale celor doua probabilitati?

(In cele de mai sus, mai sunt unii care nu dau toate punctele, dar le este oricum greu sa spuna de ce... Pentru a sensibiliza aspectul, iata cam care este motivul... daca se ia piesa a=157 (una buna decu) la prima extragere, "pomul" posibilitatilor dupa aceea este legat de toate (b,c,d)-urile ce evita 157.
daca se ia a=188 in loc, ... evita 188. Aparent nu avem nimic "comun", da, nimic comun la nivel de elemente, dar daca trecem la probabilitati avem mereu *acelasi numar de posibilitati*, deci aceeasi probabilitate, deci putem grupa aceasta aceeasi probabilitate de (200-6) ori, de atatea ori de cate putem alege o piesa buna.)

(b) probabilitatea de a avea in cele 4 alese 1 defecta, stiind ca prima aleasa a fost buna,
Este aceeasi ca
probabilitatea de a avea in 3 bile alese din 200-1 de bile, 6 dintre ele defecte, deci de a avea (cel putin / exact) 1 defecta .

Desigur ca aici accentul cade pe partea cu paranoia, dar de ce oare sunt aceste probabilitati egale...

(c) analog.

Care sunt deci enunturile (mai) exacte si care sunt solutiile sau (cu multa incredere) intrebarile pe drum...

pentru problema cu piesele, enuntul mai exact ar fi varianta cu "cel putin o piesa", nu exact o piesa

[Citat] [Citat] (1b) Fie experimentul ( E2 simplu ) : aruncarea simultana a 2 zaruri distincte. Fie experimentul ( E2 ) : aruncarea simultana a 2 zaruri distinctece se repeta de 4 ori. Sa se calculeze probabilitatea aparitiei dublei de 6 (macar o data din cele 4 ori) in (E2) . Problema este "aceeasi": - Care este evenimentul complementar lui (E2) ? - Care este evenimentul simplu / care sunt evenimentele simple ce trebuie sa apara cumva ? (Daca avem complicatii combinatorice in construirea "pomului" atunci poate avem o schema binomiala mai complicata, dar aici NU este cazul.) - Cuma arata "pomul" (cu CATE DOUA ramificatii la fiecare pas "simplu") ponderate in probabilitate cu 1/36 si 35/36 cu cei patru pasi cu tot? - Care este deci probabilitatea cautata? Care este valoarea ei numerica (lucru obligatoriu, probabilitatile se fac pentru a vedea probabilitati si a simti probabilitati, nu pentru a ajunge la o formula pentru rezultat (doar)) ? [Citat] (2) Intr-un lot de 200 piese sunt defecte 6. Alegand la inceput o piesa la intamplare, apoi inca 3 simultan din cele ramase, sa se calculeze: (a) probabilitatea de a obtine o piesa defecta in cadrul celor 4 alese, (b) probabilitatea de a avea in cele 4 alese 1 defecta, stiind ca prima aleasa a fost buna, (c) probabilitatea de a avea in cele 4 alese 1 buna stiind ca prima aleasa a a foat defecta. Problema este din pacate ambiguu pusa (sau mai degraba initial pusa si transmisa in legitima aparare). Ce inseamna "probabilitatea de a obtine o piesa defecta"? Inseamna "probabilitatea de a obtine EXACT o piesa defecta" sau cumva "probabilitatea de a obtine CEL PUTIN o piesa defecta" ? (a) Desigur ca putem rezolva ambele probleme usor, dar solutia lor nu e la fel de importanta cum e clarificarea enuntului (aici si in general). Modelarea se face pe spatiul (discret, uniform) de probabilitate (Omega) cu elemente: (a,b,c,d) , tuplet cu 4 elemente diferite a,b,c,d sau (daca corectorul este penibil, dar in acest aspect mereu penibil si fata de propriile lucruri scrise pe tabla sau tiparite de altcineva in pdf) si mai bine (si mai paranoid) (a,(b,c,d)) unde a,b,c,d se plimba in spatiul (Omega simplu) = { 1,2,3, ... , 200 } . Se prespune (in modelare) ca piesele 1,2,3,4,5,6 sunt defecte. Avem doua probleme de combinatorica. La cea cu EXACT avem in total | Omega | = (200-0) . (200-1) . (200-2) . (200-3) elemente, dintre acestea cele "favorabile" au o piesa defecta, avem patru locuri pe care sa o luam, de fiecare data avem 6 posibilitati sa luam piesa defecta si apoi pe rand... Numarul cazurilor favorabile este deci: 4 x 6 . (200-6).(200-7).(200-8) . De necrezut, asa cum a fost pusa problema exista profesori (imuniversitari) care nu dau toate punctele pe cele de mai sus, dar le dau pe toate daca se scrie ceva de forma: | Omega | = (200-0) . ((200-1) . (200-2) . (200-3)) si Numarul cazurilor favorabile este deci: 6 . ((200-6).(200-7).(200-8)) + (200-6) . (6.(200-7).(200-8)) + (200-6) . ((200-7).6.(200-8)) + (200-6) . ((200-7).(200-8).6) . (Am folosit punctul desigur ca semn pentru inmultire.) La faza cu CEL PUTIN se ia desigur evenimentul complementar. Ce obtinem? Care sunt valorile numerice ale celor doua probabilitati? (In cele de mai sus, mai sunt unii care nu dau toate punctele, dar le este oricum greu sa spuna de ce... Pentru a sensibiliza aspectul, iata cam care este motivul... daca se ia piesa a=157 (una buna decu) la prima extragere, "pomul" posibilitatilor dupa aceea este legat de toate (b,c,d)-urile ce evita 157. daca se ia a=188 in loc, ... evita 188. Aparent nu avem nimic "comun", da, nimic comun la nivel de elemente, dar daca trecem la probabilitati avem mereu *acelasi numar de posibilitati*, deci aceeasi probabilitate, deci putem grupa aceasta aceeasi probabilitate de (200-6) ori, de atatea ori de cate putem alege o piesa buna.) (b) probabilitatea de a avea in cele 4 alese 1 defecta, stiind ca prima aleasa a fost buna, Este aceeasi ca probabilitatea de a avea in 3 bile alese din 200-1 de bile, 6 dintre ele defecte, deci de a avea (cel putin / exact) 1 defecta . Desigur ca aici accentul cade pe partea cu paranoia, dar de ce oare sunt aceste probabilitati egale... (c) analog. Care sunt deci enunturile (mai) exacte si care sunt solutiile sau (cu multa incredere) intrebarile pe drum...