Daca problema tot a revenit, poate este bine sa dau o indicatie care duce repede la solutie. Este in acelasi timp o "configuratie speciala" care poate fi purtata in bagaj (pentru cei ce vor face de exemplu design si grafica in viata, pentru cei cu interes pentru partea estetica a lucrurilor, oricum...)
In triunghiul ABC isoscel dat, cu masura lui A de 100 de grade, avem urmatoarea configuratie "remarcabila" de puncte:
Fie P interior lui ABC astfel incat
APB sa fie isoscel in P cu unghiurile de
20, 20, 140 de grade.
Fie Q interior lui ABC astfel incat
AQC sa fie isoscel in Q cu unghiurile de
20, 20, 140 de grade.
Atunci triunghiurile APB si AQC stau simetric fata de mediatoarea (prin A) a lui BC. Deci AP = AQ. In triunghiul APQ unghiul din A are
100 - 20 - 20 = 60
de grade, deci
APQ este triunghi echilateral.
Rezulta imediat:
BP = PA = PQ = QA = QC .
(Cred ca e clar de ce subiectiv consider ca avem de-a face cu o configuratie deosebita.)
Care este semnificatia valorii comune in egalitatea de mai sus?
Pentru a vedea ca
BP = PA = PQ = QA = QC
= BC-AB
ne mai legam si de punctul M, luat pe BC || PQ astfel incat BPQM sa fie
romb .
Se observa atunci din QM || BP ca triunghiul QMC este isoscel (doua unghiuri de 20 de grade) .
Deci triunghiurile (cu literele) urmatoare (ca varfuri) sunt congruente:
QMC , QAC , PAB .
In particular BC = BM + MC = BM + AC = BM + AB .
Problema propusa mai construieste in sfarsit inca un triunghi
DBM
congruent cu cele amintite mai sus. Iar din
[ triunghiul DBM este congruent cu triunghiul MQC ]
rezulta ca DM = MC, deci triunghiul DMC este isoscel (cu unghiurile ascutite de 10 grade) .
N.B. Este aceeasi solutie adunata din mai multe solutii din link-ul de mai sus.
Problema este deosebita, o experienta estetica rara. In astfel de cazuri avem intotdeauna nevoie de o solutie estetica, una care sa ne ajute sa tinem si mai bine minte constelatia problemei...
Access general
Conţine mesaje necitite
