O permutare sigma apartine lui Sn,se numeste ciclu de lungime k daca exista x1,x2,....xk,astfel incat sigma=(1 2....x1...x2...xk-1...xk...n
1 2 ...x2...x3...xk.....x1...n)
si se npteaza cu sigma=(xi,x2,...xk)
Determinati ciclurile din permutarea sigma=1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 7 2 4 9 8 3 1 5
si scrieti permutarea sigma ca produs de cicluri.Aratati ca ciclul (1,2..n) este produs de transpozitii(1,n)(1,n-1)..(1,3)(1,2).Ce reprezinta produsele(1,4)(1,3)(1,2)(1,5)(1,4)(1,3)(1,2)?
Va rog frumos daca puteti sa ma ajutati.Mentionez ca nu inteleg nimic din ex acesta apsolut nimic.Multumesc frumos!

No, sa incercam aici atunci cu prima lectie despre permutari.
Ca orice lectie, nu e un monolog, asadar intrebarile trebuie sa vina.

In primul rand, o permutare e o functie, anume una BIJECTIVA.

Sa vedem ce ni s-a dat. Notez cu s in loc de sigma permutarea...
( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )
( 6 7 2 4 9 8 3 1 5 )

Ca functie am avea scrierea:

s(1) = 6
s(2) = 7
s(3) = 2
s(4) = 4
s(5) = 9
s(6) = 8
s(7) = 3
s(8) = 1
s(9) = 5

(E bijectiva? De ce?)

Cautam cicluri. Tot aplicand s-ul incepand cu 1 putem scrie formal:

1 > 6 > 8 > 1 gata, am dat de un ciclu. Au mai ramas valori? Da...
2 > 7 > 3 > 2 gata, am dat de un ciclu. Au mai ramas valori? Da...
4 > 4 gata, am dat de un ciclu. Au mai ramas valori? Da...
5 > 9 > 5 gata de tot.
(Fiecare element e deja intr-un ciclu).

Notam cu (168) permutarea ciclica ce permuta ciclic 1,6,8 in aceasta ordine si lasa totul in rest pe loc. (Deci 1> 6 > 8 > 1 si 2>2, 3>3, 4>4, 5>5, 7>7, 9>9.)
In manual ei vor 1,6,8 ca nu cumva sa creada cineva ca e numarul 168... Sper insa ca ne intelegem aici si fara bvirgule. (Zgomot alb.)


Notam cu (273) permutarea ciclica ce permuta ciclic 2,7,3 in aceasta ordine si lasa totul in rest pe loc.

Notam cu (59) permutarea ciclica ce permuta ciclic 5,9 (e o transpozitie, schimba intre ele cele doua numere) (in aceasta ordine) si lasa totul in rest pe loc.

Ei bine, obtinem scrierea:
s = (168)o(273)o(59) .

Este bine de mentionat ca mai sus avem o compunere de functii! De exemplu,permutarea / functia (168) se poate aplica pe 8 si obtinem
(168)(8) = 1 . (Primele paranteze rotunde sunt parte din notatia ciclului. Cele din jurul argumentului 8 sunt paranteze de evaluare in 8!)

Putem verifica egalitatea de mai sus:
s(3) = 2 cum ni s-a fat, iar ca o compunere de care am facut rost:

(168)o(273)o(59) (2) =
(168)o(273) in (59)(2) =
(168)o(273) in (2) = <... (59) ik lasa pe loc pe 2>
(168) in (273)(2) =
(168) in 7 = <... (273) il duce pe 2 in 7 'ciclic'>
= 7 .

E clar?

Daca da, atunci care este valoarea ciclului:
(1,2,...,n)
pe rand in 1,2,3,4,...,n

Si care este valoarea compunerii de transpozitii
(1,n)(1,n-1)..(1,3)(1,2)
pe rand in 1,2,3,4,...,n


N.B. Mentionez ca nu inteleg mai nimic din lumea in care traim.