| Autor |
Mesaj |
|
|
Un punct P din interiorul unui triunghi echilateral ABC are distantele
3,4,5
(pana) la laturi.
Care este aria triunghiului ABC?
Un punct X din planul unui patrat (P) are distantele
3,4,5
(pana) la trei din cele patru varfuri ale patratului (P) .
Care este / poate fi aria patratului (P) ?
---
df (gauss)
|
|
|
La prima problem?, suma distan?elor de la un punct interior triunghiului echilateral la laturi nu depinde de pozi?ia punctului. Deducem c? în?l?imea are lungimea 12, iar de aici aria se calculeaz? u?or.
La a doua, exist? 2 valori posibile ale ariei p?tratului. Una este
.
Pe cealalt? mi-a fost lene s? o calculez 
|
|
|
Inainte de toate trebuie sa argumentez de ce am plasat aceasta problema (aici)...
Candva de mult, am participat la un concurs, o problema mi-a stricat complet echilibrul timpului, deoarece eu nu am putut renunta pana la sfarsitul lui la ideea ca
- daca problema era pusa pur geometric,
- daca primul punct se rezolva (simplu) pur geometric (trebuia sa calculez raportul supraunitar al laturilor inegale intr-un triunghi isoscel cu doua unghiuri de 72 de grade - indicatia fiind obligatia de a duce bisectoarea unui unghi de 72 de grade si scrierea unei ecuatii de gradul II din teorema bisectoarei...)
- atunci punctul al doilea nu are nici o solutie naturala in cadrul geometric.
Eu am continuat sa o caut...
Si aici avem un cadru in care ne poate "fura peisajul", primul punct se rezolva usor printr-un argument geometric bine cunoscut (acesta este pe acest site des intalnit deja) si anume repede, dar al doilea punct...
Ei bine, trebuie apreciat de la inceput ca al doilea punct este negeometric (nesintetic), se ataca cu geometrie analitica (deci este analitic in esenta) iar pana la solutia finala omul are nevoie de tenacitate/indarjire... Vazand problema, am avut din nou acel gust ciudat pe limba si am zis s-o plasez si aici ca pregatire psihologica pentru olimpiade, de exemplu. In general, este bine ca in matematica sa lasam problema sa-si caute structura, este un imbold de a incerca in matematica intotdeauna sa aplicam metodele naturale pentru scopurile propuse. Exista tari in care astfel de exemple de "decizie in alegerea drumului" in matematica sunt subiecte de o teza sau alta legata de didactica in invatare in matematica. Se cauta exemple noi intr-o lume cu ustensile noi si cu o gandire noua.
---
df (gauss)
|
|
|
[Citat]
Un punct P din interiorul unui triunghi echilateral ABC are distantele
3,4,5
(pana) la laturi.
Care este aria triunghiului ABC?
Un punct X din planul unui patrat (P) are distantele
3,4,5
(pana) la trei din cele patru varfuri ale patratului (P) .
Care este / poate fi aria patratului (P) ?
|
Problema este generalizabila in sensul ca putem determina aria unui poligon regulat cu n laturi atunci cand cunoastem distantele unui punct interior in raport cu laturile poligonului
|
|
|
[Citat]
Problema este generalizabila in sensul ca putem determina aria unui poligon regulat cu n laturi atunci cand cunoastem distantele unui punct interior in raport cu laturile poligonului |
Pute?i s? ne ar?ta?i cum face?i asta pentru, de exemplu, un pentagon regulat?
|
|
|
[Citat]
[Citat]
Problema este generalizabila in sensul ca putem determina aria unui poligon regulat cu n laturi atunci cand cunoastem distantele unui punct interior in raport cu laturile poligonului |
Pute?i s? ne ar?ta?i cum face?i asta pentru, de exemplu, un pentagon regulat? |
In general pentru un poligom regulat cu n laturi cu latural de lungime daca distantele unui punct interior la laturi sunt d(1);d(2);...;d(n) rezulta ca aria poligonului este egala cu l*(d(1)+d(2)+...+d(n))/2. Dar in acelasi timp
aria poligonului este egala nu n*l*a/2 unde a este apotema.
Deci de aici rezulta ca a=(d(1)+d(2)+...+d(n))/n .Deci stim apotema poligonului de unde rezulta ca poligonul este riguros/unic determinat din punct de vedere dimensional. Aflam l=2*a*tg(pi/n)dupa care aria este n*l*a/2 totul exprimabil in functie de n si de distantele d(1);d(2);...d(n) pe care le cunoastem.
Se poate particulariza si pentru n=5
|
|
|
[Citat]
[Citat]
[Citat]
Problema este generalizabila in sensul ca putem determina aria unui poligon regulat cu n laturi atunci cand cunoastem distantele unui punct interior in raport cu laturile poligonului |
Pute?i s? ne ar?ta?i cum face?i asta pentru, de exemplu, un pentagon regulat? |
In general pentru un poligom regulat cu n laturi cu latural de lungime daca distantele unui punct interior la laturi sunt d(1);d(2);...;d(n) rezulta ca aria poligonului este egala cu l*(d(1)+d(2)+...+d(n))/2. Dar in acelasi timp
aria poligonului este egala nu n*l*a/2 unde a este apotema.
Deci de aici rezulta ca a=(d(1)+d(2)+...+d(n))/n .Deci stim apotema poligonului de unde rezulta ca poligonul este riguros/unic determinat din punct de vedere dimensional. Aflam l=a/(cos(pi/n))dupa care aria este n*l*a/2 totul exprimabil in functie de n si de distantele d(1);d(2);...d(n) pe care le cunoastem.
Se poate particulariza si pentru n=5 |
Aten?ie! se cunosc numai distan?ele la laturi nu ?i lungimea laturii.
|
|
|
[Citat]
[Citat]
[Citat]
[Citat]
Problema este generalizabila in sensul ca putem determina aria unui poligon regulat cu n laturi atunci cand cunoastem distantele unui punct interior in raport cu laturile poligonului |
Pute?i s? ne ar?ta?i cum face?i asta pentru, de exemplu, un pentagon regulat? |
In general pentru un poligom regulat cu n laturi cu latural de lungime daca distantele unui punct interior la laturi sunt d(1);d(2);...;d(n) rezulta ca aria poligonului este egala cu l*(d(1)+d(2)+...+d(n))/2. Dar in acelasi timp
aria poligonului este egala nu n*l*a/2 unde a este apotema.
Deci de aici rezulta ca a=(d(1)+d(2)+...+d(n))/n .Deci stim apotema poligonului de unde rezulta ca poligonul este riguros/unic determinat din punct de vedere dimensional. Aflam l=a/(cos(pi/n))dupa care aria este n*l*a/2 totul exprimabil in functie de n si de distantele d(1);d(2);...d(n) pe care le cunoastem.
Se poate particulariza si pentru n=5 |
Aten?ie! se cunosc numai distan?ele la laturi nu ?i lungimea laturii. |
Cititi cu mai multa atentie postarea mea precedenta. Am exprimat apotema poligonului in functie de distantele de la punctul interior la laturi (in general apotema este media aritmetica a acestor distante). Avand apotema in functie de distante pot sa exprim raza cercului circumscris, latura, aria etc in functie de distante.
|
|
|
Corect, am fost neatent, aveti dreptate. Aveam in minte situatia din partea a 2-a a problemei, cand nu stim toate distantele la laturi.
|
Access general
Conţine mesaje necitite
